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概率论论文范文 篇一
一是课时设置较少，而老师为了完成教学任务，不得不加快速度，知识点没办法讲细，势必会造成学生“贪多嚼不烂”;且课程内容较多，如果老师本身的知识结构沉淀不够，只是“照本宣科”，简单介绍概念、定义、理论和方法，缺少对实际的概率统计背景知识及发展现状的介绍，忽视对学生实践和应用能力的培养，导致所教知识、方法不能被学生接受、及时掌握。二是在应试教育的影响下，学生思维固定，缺乏学习的主动性。许多学生学习的目的是为了考试过关，对于考试涉及不到的课程知识，就只是简单了解或干脆不学，所以在整个学习过程中，不注重课程思想方法的领悟，只是忙于做题，把学习的目标仅仅定位于能看懂例题，会做课后习题，只关心具体解题的步骤，从而去模仿解题，而不是领会课程知识所呈现的方法。三是教师忽略与相关学科间的关系，只进行单一教材的课堂教学，没有适当穿插一些相关学科的知识，教学资源不能得到优化配置；教材比较陈旧，理论联系实际的应用实例较少，即使有一些联系实际的实例，也不涉及到当今科技信息，导致了学习与实践的脱节；教师在教学中解决实际问题的能力不够，理论与实际联系少之又少，即使有，表现的应用背景也被形式化的演绎一带而过，学生“雾里看花”，难以琢磨、难以理会，畏惧心理滋生。同时，教材中都是一些联系很紧凑的理论，以及简化了过程的证明和计算，学生感觉不到学习乐趣，意义就更谈不上了，这也是造成很多学生放弃对这门课程的学习，只背重点、记忆模仿解题应付考试的重要原因。
2问题的解决方案
2．1从整体内容上把握教材
根据《概率论与数理统计》教材，该课程整体上是讲述三个大的问题：一是概率论部分，介绍必要的理论基础；二是数理统计部分，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析的方法；三是随机过程部分，在讲清基本知识的基础上主要讨论了平稳随机过程，是随机变量的集合，能完全揭示概率的本质。课本上的很多问题都是围绕这三个问题来讲述的，因此，要打破“重理论，轻应用”“重概率，轻统计”的教学思想，且从整体上完整地对这三个问题进行讲授。由于概率论与数理统计的知识点多而零散，初学者对知识点不容易全面系统地把握，所以老师在教学中要经常引导学生进行简单复习回顾，从而使学生能够高效而快速地理解所学知识，系统掌握这有机结合的三部分内容。
2．2在讲授中要有其客观背景
很多学生虽然在中学接触过概率知识，但那只是皮毛，大学更注重的是思想的培养，而且本课程从内容到方法与其它数学课程都有本质的区别。因此，老师在讲解基本概念时，一定要把来龙去脉讲清楚。比如在评价棉花的质量时，“既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离较小，质量较好”，这些常识性知识容易理解，学生也有兴趣听，然后就此引入概念———这是由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数� 由此就很自然地引出了数字特征、数学期望、方差、相关系数和矩，这样学生就很好地理解了概念的实际背景。也就是说，在概念定理的教学中，首先应该在概念、定理产生的背景上下功夫，找出每个概念的实例，用大量事实来说明提出这些概念定理的客观依据是什么，它在实际应用中有什么意义。比如，一个随机变量由大量的相互独立的随机因素综合影响而形成，而且其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，那么这种现象正是中心极限定理的客观背景；再如，在介绍随机过程时，不妨从随机过程实例出发，如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化等等。如果忽视了概念与定理产生的实际背景，离开实际去讲概念和定理，学生会觉得学习内容枯燥，而且也很难理解，更不会应用于解决实际问题，这样就降低了学习的积极性，也没有发挥该课程的功能。
2．3在教学过程中使用案例教学
案例教学的主角是学生，通过学生之间对概念、定义、定理、标注、例题积极主动的讨论，以达到更深入理解和掌握的目的。在教学中引入的案例，要能够激发学生的学习兴趣、学习积极性和参与讨论的主动性。如何选取案例，就要求教师在备课当中多花时间找资料、思考，在教学案例中尽可能选取社会热点、先进的科技信息为案例素材，尤其财经类院校应尽可能编写一些涉及财经信息方面的案例。比如，讲到随机变量内容部分，定要在金融经济学中编写涉及到的随机变量的案例；讲到中心极限定理部分，投资学中期权定价理论就是一个很好的案例；讲到参数估计和评价时，保险精算中对平均寿命函数的估计和评价则是很好的案例；随机过程部分，分数布朗运动投资组合的风险度量都是很好的案例等等。如此教学，才能激发学生的学习兴趣，在讨论中逐步体会基本概念、定义、定理的来龙去脉，实现了有效学习，培养了学生解决实际问题的能力和抽象概括、推理论证的能力。
2．4重视引导学生主动思考问题
培养创新思维“在教学过程中提出一些思考性和启发性都很强的问题，让学生分析、研究和讨论，引导学生去发现问题，分析问题，然后解决问题。”学生的学习要自觉要靠自己，不是由教师牵着走，而是由教师引导走，“授人与鱼，只供一日之炊；授人与渔，使人受益终身”，所以教师应多引导、鼓励学生主动思考问题。比如，教师在每次课结束前5分钟进行下堂课新知识的介绍时，对本堂课学的知识点和前面学过的知识做个串联，最好能随手画出知识点“网络状”图，引导学生积极思考，引出下次课要讲的内容，勾起学生的预习兴趣。再如，在讲课时，教师可以针对本节课的内容设计一系列“问题链”，用“问题链”带动和完成课堂教学，可很好地引导学生主动思考、创造性思维，引导学生思考、发现问题，讨论、做出结论，从而逐步地使教学由“灌输式教育”向“创新型教育”转变，教学互动，教学相长。同时，教师一定要想方设法改变“学生被动接受知识”为自主、有兴趣地去学习知识，引导和组织学生展开讨论，鼓励学生提出大胆的猜想，及时解决学生提出的问题，激发学生的求知欲，注重教学方法的灵活运用，鼓励学生动手探究和创新，这样教学效果才会明显。
3结语
概率论论文 篇二
对传统的概率论与数理统计教学进行归纳，大致是：理论知识+说明举例+解题+考试。这种教学模式可以让学生掌握基础知识，提升计算能力，也有利于解决课后习题。但这种教学模式也有一定的缺陷，不难看出，它与实际脱离较大，更多地停留在书本上。学生掌握了理论知识，未必会将其运用到实际，这违背了素质教育的宗旨，不利于学生学习积极性的提高。运用数学建模的指导思想，可以有效避免传统教学模式的缺陷。数学建模的一个重要功能就是培养学生理论联系实际的能力。将数学建模思想融入教学，是概率论与数理统计教学的需要，也是顺应教学改革的需求。
二、数学建模思想融入课堂教学
教师在讲授概率论与数理统计课程时，面临着非常重要的任务。如何让学生通过学习增强对本课程的理解，并将知识合理地运用到实践中，是摆在教师面前的问题。教师要将数学建模思想合理地融入到课堂。
（一）课堂教学侧重实例
概率论与数理统计课程是运用性很强的一门课程。因此，将教学内容与实例想结合，可以有效提高学生的理解力，加深学生对知识点的印象。例如，在讲授概率加法公式的时候，可以用“三个臭皮匠问题”作为为实例。“三个臭皮匠赛过诸葛亮”是对多人有效合作的一种赞美，我们可以把这个问题引入到数学中来，从概率的计算方面验证它的正确性。首先可以建立起数学模型，三个臭皮匠能否赛过诸葛亮，主要是看他们解决实际问题的能力是否有差距，归结为概率就是解决问题的概率大小比较。不妨用C表示诸葛亮解决某问题，Ai表示第i个臭皮匠单独解决某问题，其中i=1,2,3，每个臭皮匠解决好某问题的概率是P（A1）=0.45，P（A2）=0.55，P（A3）=0.60，而诸葛亮成功解决问题的概率是P（C）=0.90。那么事件B顺利解决对于诸葛亮的概率是P（B）=P（C）=0.90，而三个臭皮匠解决好B问题的概率可以表示成P（B）=P（A1）+P（A2）+P（A3）。解决此问题的过程中，学生既感受到了数学建模的乐趣，也在轻松的氛围中学习到了概率知识。这种贴近实际生活的教学方式，不但可以提高学生学习概率的积极性，也可以增强教师从事素质教育的理念。
（二）开设数学实验课
数学实验一般要结合数学模型，以数学软件为平台，模拟实验环境进行教学。发展到今天，计算机软件已经很成熟，一般的统计计算都可以由计算机软件来完成。SPSS、SAS、MABTE等软件已经广泛得到了运用，较大数据量的案例，如统计推断、数据模拟技术等方面的问题，都可以用这些软件来处理。通过数学实验，不但可以体现数学建模的全过程，还能增强学生的应用意识，促使他们主动学习概率论与数理统计知识。学生通过软件的学习与运用，增强了动手能力，解决实际问题的能力也会有所增强。
（三）使用新的教学方法
众所周知，传统的填鸭式的教学方法很难取得好的教学效果，已经不适应现代教学的要求。实践证明，结合案例的教学方法可以由浅入深，从直观到抽象，具有一定的启发性。学生可以从中变被动为主动，加深对知识的理解。这种教学方法还能让学生的眼光从课堂上转移到日常生活，进行发散思维，学生会进一步发挥主观能动性，思考如何将实际问题数学化，如何结合概率论与统计知识解决实际问题，等等。在这种情况下，学生的兴趣提高了，教学效率自然也会得到提高。
（四）建立合理的学习方式
概率论与数理统计教学不能一味地照本宣科。数学建模并无固定模式，它需要的更多是技能的综合。教师在实际教学过程中，不应该以课本为标准，而应该多引导学生自主解决实际问题，让学生去查阅相关背景资料，以提高其自学能力。教师可以适当补充一些前言的数学知识，让一些新观念和新方法开阔学生的视野。在处理习题问题上，教师要适当引入一些不充分的问题，而不是仅仅局限于条件比较充分的问题上，要让学生自己动手分析数据、建立模型。教师应该经常开展专题讨论，引导学生勇于提出自己的见解，加强学生间的交流与互助。例如，在讲授二项分布知识时，为了加深学生对知识的领悟，教师可以用“盥洗室问题”为实例来讲授二项式的实际运用。问题：宿舍楼内的盥洗室处于用水高峰时，经常要排队等待，学生对此意见很大。学校领导决定把它当作一道数学题来解答，希望学生能从理论上给出合理的解决方法。分析：首先收集基本的资料，盥洗室有50个水龙头，宿舍楼内有500个学生，用水高峰期为2小时（120分钟），平均每个学生用水时间为12分钟，等待时间一般不超过12分钟，但经常等待会让学生失去耐心。学生希望100次用水中等待的次数不超过10次。解决方法：设X为某时刻用水的学生人数，先找到X服从什么分布。500个学生中，每个学生的用水概率是0.1，现在X人用水，与独立实验序列类似，比较适合用二项分布，因此设X服从二项分布，n=500，p=0.1，用概率公式表示为P（X=K）=CKnPK（1-P）n-K。接下来计算概率，主要关注不需要等待的概率（即X<50），P（X<50）=∑49K=0CKnPK（1-P）n-K，这个二项式分布是一个初步的模型，可按二项分布来计算。由于n较大（n=500），直接用二项分布计算过于复杂，我们可以利用两种简化近似公式来计算（泊松分布和正态分布）。经过查正态分布表，我们可以算出x=58，这说明水龙头的个数在59～62这个范围时，学生等待的时间概率比较合理。
三、课后练习反馈数学建模思想
数学课程离不开课后练习，课后作业是其重要的组成部分，对于巩固课堂知识、进一步理解所学理论具有重要作用。因此，教师要把握好课后练习环节。概率论与数理统计这门课涉及到很多随机试验，一般的统计规律都需要在随机试验中找到结果。例如通过投掷骰子或硬币可以理解频率与概率的关系，通过双色球的抽样可以理解随机事件中的相互独立性，统计一本书上的错别字可以判断其是否符合泊松分布等。通过亲自做实验，学生们不但能探求到随机现象的规律性，还能进一步巩固所学的统计理论。除了一般的练习题以外，教师可以适当增加一些与日常生活密切相关的概率统计题目，这些题目往往趣味性较强。例如，在知道的抽奖方法和中奖规则后，可以明确三个问题：（1）摸的次序与中奖概率是否相关？（2）假如的总量是100万张，则一、二等奖的中奖概率是多少？（3）一个人打算买，在何种情况下中奖概率大一些？这种课后练习对于学生趣味的提高很有帮助。
四、考核方式折射数学建模思想
作为一门课程，肯定需要考核，这是教学过程中的一个必然环节。课程考核是评估教学质量的重要方式。概率论与数理统计课程传统的考试一般采用期末闭卷考试，教师通常按固定的内容出题。这种情况下，学生为了应付考试，会把很多精力都用在背诵公式和概念上面，从而会忽视知识的实际运用。学生的综合成绩虽然也包括平时成绩，但期末闭卷考试往往占据很大比例。就是是平时成绩，其主要还是考核学生课后的习题完成情况。因此，考核实际就成了习题考试。对于学生在课后的实验，考核中往往很少涉及。这会导致学生逐渐脱离日常实际，更注重课堂考勤和作业。要改变这种情况，有必要改变传统的考核方式。灵活多变的考核方式才更有利于调动学生的积极性，激发他们各方面的潜能。考核可以适当增加平时成绩所占的比重，比如，平时成绩可以占总成绩的30%以上。平时成绩主要采用开放性考核，由课后实验或课外实践组成。教师可以提出一些实践问题，让学生自主去解决。学生可以单独完成任务，也可以组队进行，最后提交一份研究报告，教师在此基础上进行评定。
五、结语
在教学环节融入数学建模思想，有利于培养学生学习兴趣的提高，也有利于学生利用所学知识处理随机现象问题，这已经被教学实践所证明。随着21世纪知识经济和信息时代的到来，随机现象的理论方法运用越来越广泛，概率论与数理统计课程的重要性愈发突出。在教学环节融入建模思想，充分体现了概率论与数理统计的实用性，也使学习该课程的学生加深了课程的理解能力。随着教学实践的不断深入，这种教学方式还将进一步完善，不断搭建起概率统计知识与实际应用相结合的平台。
概率论论文 篇三
【关键词】概率论与数理统计；数学建模思想；教学改革
0.引言
概率论与数理统计已经作为一门基础学科，为很多专业课的学习奠定了基础。如西方经济学等等。数学建模就是通过数学知识解决实际问题。将数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学中，一方面能激励学生学习概率论与数理统计这门课的兴趣，另一方面能更好的联系实际，解决实际问题。对于民办院校来说，这样大大提高了我们的教学水平，增强了的学生的学习能力和竞争能力，为民办院校的长远发展做出了贡献。
1.将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学
1.1课前导入时引入数学建模思想
概率论与数理统计比高等数学、线性代数的难度更深一些，对于学生来说更难以接受，在每一节课前采用启发式，由浅入深，由直观到抽象，使学生真正掌握概率论与数理统计的概念，以便提高学生学习的乐趣。
1.2讲授过程中引入数学建模思想
讲授虽然是主要的教学方式，也可以采用讨论式，适当对一些问题进行讨论，这样可以活跃课堂气氛，激活学生思维，使授课效果更好。
1.3课后作业中引入数学建模思想
布置课外作业为了考察学生对课堂内容的掌握程度，对问题有更深刻的理解，只有把数学方法应用到实践中去，解决几个实际问题，才能达到理解、巩固和提高的效果。
2.将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学的意义
2.1激发学生学习概率论与数理统计的兴趣
现在在学生中存在着这样一个普遍的问题，大多数学生认为学习数学没有任何用处，而且特别枯燥。特别是更抽象的概率论与数理统计，我校目前为止只有信息与工程学院、商学院与国际经济学院开设了概率论与数理统计，而且学时比较少，学生普遍认为学习这门课没有多大的意义，通过数学建模思想的融入，让学生自己去体会他的重要性，激发了学生学习概率论与数理统计的兴趣。
2.2通过数学理论知识解决实际问题
问题一：目前我校有1万多名学生，每天傍晚打开水的人较多，开水房经常出现排长队的现象，应增加多少个水龙头才能解决这种现象？问题二：每天中午吃饭的人较多，饭厅经常出现排队的现象，应增加多少个卖饭窗口才能解决这种现象？以上两个问题大多数学校都存在这种现状，到底如何解决呢，通过将数学建模思想融入概率论与数理统计，就可以解决类似这些问题。
2.3为参加全国大学生数学建模竞赛做准备
在平时的课程中使学生对数学建模有了初步的认识，为每年一次的全国大学生数学建模竞赛做好准备工作，使学生更好的将数学知识应用于实际问题中。去年我校首次参加了全国大学生数学建模竞赛，对于首次参加竞赛的民办院校来说，我们取得了优异的成绩，通过参加全国大学生数学建模竞赛，所有指导老师以及参赛学生受益匪浅，有的人这样来形容自己的感受：一次参赛，终身受益。今年计划继续参赛，并且加大力度，尽量使全校各二级学院的学生都能参与到这项竞赛中来，通过平时课程中引入数学建模思想，为今年的参赛取得更优异的成绩增加筹码。
2.4为毕业论文、毕业设计做好铺垫
将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学，通过课前、课中、课后三部分的引入，已经使学生能解决简单的实际问题，给出自己的解答过程，而数学建模的答卷不是普通意义上的考试，而是以论文的形式阐述自己的观点和解答过程。某种意义上说一份数学建模答卷就是一份毕业论文、毕业设计。这样大大的锻炼了学生查阅资料的能力，写作能力，表达能力。参加过数学建模竞赛的学生，在后续的专业课学习、毕业设计（论文）等方面有良好表现，无论是继续深造还是走上社会工作岗位都有更强的竞争力。
2.5培养学生的创新能力
创新是21世纪的主旋律，培养具有创新精神的人才是实现科教兴国的关键。作为一所民办高校，创新至关重要。而传统的数学教学非常的枯燥无味，学生缺乏主动性，缺乏应用数学知识去解决实际问题的能力。而数学建模思想可以培养学生的创造能力、联想能力、洞察力、数学语言的表达能力等。
3.对于民办院校将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学面临的问题以及对应措施
我校作为一所民办院校，各个体系还不够完善，学生的整体水平相对比较低，把数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学中，培养学生的创新能力，团队合作能力，还是需要一段时间的。为了更好的把数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学中，我们还需做以下的努力：首先学校领导要大力支持这项工作的开展，加大与其它学校在这方面的交流，多向其它兄弟院校学习。其次教师要提高自己的教学水平，拓展自己的知识领域，并在以后的教学中，把数学建模思想融入到更多课程的教学中，例如高等数学，线性代数课程等等。而民办院校的学生底子稍微差一些，老师在讲授的过程中要有足够的耐心，要对自己的学生有信心。最后学生要从思想上对数学有一个正确的认识，做到不卑不亢，对于那些对数学感兴趣的学生，学校可以开设数学实验，数学建模等选修课供学生选择。
4.结束语
通过大家持之以恒的努力，不仅将数学建模思想融入到概率论与数理统计课程的教学，还要继续将数学建模思想融入到高等数学课程的教学以及线性代数课程的教学。通过数学教学的改革，不仅可以提高学生的数学素� [科]
【参考文献】
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概率论论文 篇四
关键词：点子问题 概率论 惠更斯 递推法 数学期望
在纪元之初，民间就流行用抽签来解决人们彼此间的争端，这可能是最早的概率应用。随着社会的发展，随机现象愈来愈左右着人类的生活。因而在不确定性因素的情境中，寻找行为的理性规则，使理性服从机遇的愿望成为数学家研究的课题之一。直到文艺复兴时期，随机世界依然扑朔迷离、不能辨析。作为研究随机现象的概率论出现在17 世纪中叶，象征着概率论诞生的标志，就是克里斯蒂安·惠更斯(christian huy-gens ,1629 - 1695) 在1657 年发表的《论中的计算》(on reckoning at games of chance ) 一文。
一、论文的来源
惠更斯1629 年诞生于海牙的一个富豪之家。其父知识渊博，擅长数学研究，同时又是一杰出的诗人和外交家。惠更斯从小受到了父亲的熏陶，喜欢学习和钻研科学问题。16 岁进入莱顿大学学习，后转到布雷达大学学习法律和数学。26 岁获得法学博士学位。数学老师范·舒藤(frans van sehooten) 指导他学习当时的著名数学家、哲学家卡卡维(carcavi) 的数学著作及其哲学著作。惠更斯从中感悟到数学的奥妙而对数学很感兴趣。1650 —1666 年期间，他大多时间在家中潜心研究光学、天文学、物理学和数学等领域，成果显著，一
除去在光学、天文学等领域的贡献外，惠更斯也有出众的数学才能，可谓是一个解题大师，早在22 岁时就写出关于计算圆周长、椭圆弧及双曲线的论文。他发现了许多数学技巧，解决了大量数学问题。如他改进了计算π值的经典方法；继续笛卡尔、费马和帕斯卡的工作，对多种平面曲线，如悬链线、曳物线、对数螺线、旋轮线等都进行过研究；对许多特殊函数求得其面积、体积、重心及曲率半径等，某些方法与积分方程的积分法相似。伯努利兄弟对惠更斯的研究极为佩服，尤其是约翰(john bernoulli ,1667 —1748) 发现旋轮线也是最速降线时甚是激动。他说：“这惠更斯等时曲线(旋轮线) 就是我们正在寻求的最速降线！ 我感到十分惊奇！”惠更斯在数学方面的最大贡献，就是以《论中的计算》一文奠基了概率论的基础。
1654 年，赌徒梅勒向当时的“数学神童”帕斯卡(b1pascal ,1623 - 1662) 提出了其在上遇到的几个不解问题。后帕斯卡与费马(pierre de fermat ,1601 - 1665) 以通信的方式对这些问题进行了较为详尽的讨论，并将其推广到一般情形，这就使概率计算由单纯计数而转向更为精确的阶段，但二人都不愿意发表研究成果，故有关概率知识没有得到及时传播。
1655 年秋，惠更斯第一次访问巴黎。他遇到罗贝瓦尔(g1p1de roberval) 及梅勒恩(mylon) ,但没有见到帕斯卡和费马。他获知去年有一场关于概率问题的讨论，但不知其具体解决方法及结果。由于罗贝瓦尔对此问题毫无兴趣，因而惠更斯对费马和帕斯卡的讨论结果几乎一无所知。
1656 年4 月，回国后的惠更斯自己解决了这些概率问题，并将其手稿送给范·舒藤审阅，同时写信给罗贝瓦尔，寻求几个概率问题的解答。此时范·舒藤正在筹印其《数学习题集》,因而他建议惠更斯将此文印刷发表，并亲自替学生将该文译成拉丁文。由于惠更斯没有收到罗贝瓦尔的信，便又写信给梅勒恩，并通过卡卡维将信转给费马。在1656 年6 月22 日费马的回信中，给出与惠更斯相一致的解决方案，但无证明过程。此外，费马又向惠更斯提出了5 个概率问题。阅信后，惠更斯很快解出这些问题，并把其中2 个问题收录在著作中。他于7 月6日将结果送给卡卡维让其转给梅勒恩、帕斯卡和费马确定解答正确与否。卡卡维在9月28 日的回信中肯定了惠更斯的解答，并给出帕斯卡与费马对点子问题的解决方案，但无证明。惠更斯在10 月12日给卡卡维的回信中也提出了一个无证明的解决方法。
1657 年3 月在最后一次校订时，惠更斯将其论文增加为9 个命题和5 个问题，形成了《论中的计算》的基本构架。惠更斯还将给范·舒藤的一封信作为该文的前言，这篇前言形成了全文的思想基础。他在其中明确地提出：“尽管在一个纯粹运气的游戏中结果是不确定的，但一个游戏者或赢或输的可能性却可以确定。”〔1〕可能性用的是“probability”,其意义与今天的概率几无差别。惠更斯的这种思想使得“可能性”成为可以度量、可以计算、具有客观实际意义的概念。信中惠更斯强调了这一新理论的重要性：“我相信，只要仔细研究这个课题，就会发现它不仅与游戏有关，而且蕴含着有趣而深刻的推理原则。”并惋惜地说“, 法国的杰出数学家已经解决了这些问题，无人会把这个发明权授予给我。”其内容被编排在范·舒藤之书的519 - 534 页。该书出版于1657 年9 月，而荷兰文版出版于1660 年，英文版出版于1692 年，德文版出版于1899 年，法文版出版于1920 年，意大利文版出版于1984 年。
二、创立数学期望
《论中的计算》的写作方式很像一篇现代的概率论论文。先从关于公平值的一条公理出发，推导出有关数学期望的三个基本定理，利用这些定理和递推公式，解决了点子问题及其他一些博弈问题。最后提出5 个问题留给读者解答，并仅给出其中的3 个答案。通常所谓惠更斯的14 个命题，指的就是书中3 条定理加上11 个问题。
公理：每个公平博弈的参与者愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数〔2〕。
对这一公理至今仍有争议。所谓公平赌注的数额并不清楚，它受许多因素的影响。但惠更斯由此所得关于数学期望的3 个命题具有重要意义。这是数学期望第一次被提出，由于当时概率的概念还不明确，后被拉普拉斯(p1s1m1de laplace ,1749 —1827) 用数学期望来定义古典概率。在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是二级概念，但在历史发展过程中却顺序相反。
关于数学期望的三个命题为：
命题1 若在中获得赌金a 和b 的概率相等，则其数学期望值为( a + b)p21
命题2 若在中获得赌金a 、b 和c 的概率相等，则其数学期望值为( a + b + c)p31
命题3 若在中分别以概率p 和q ( p ≥0 , q ≥0 , p + q = 1) 获得赌金a 和b ,则获得赌金的数学期望值为pa + qb1
这些今天看来都可作为数学期望定义。但对惠更斯来说，必须给出演绎证明，因当时对数学的一种公认处理方法是从尽可能少的公理推导其他内容。惠更斯所给的命题1 证明为：
假设在一公平的中，胜者愿意拿出部分赌金分给输者。若二人的赌注均为x ,胜者给输者的为a ,因而所剩赌金为2 x - a = b ,故x = ( a + b)p2。
帕斯卡与费马在通信中所说的“值”等于赌注乘以获胜的概率，因而已于概率无本质区别。而惠更斯在这里将“值”改称为“数学期望”是一个进步(在该书荷兰版中，惠更斯仍沿用“值”的概念) 。
将命题3 推广便得到今日数学期望的定义。因此惠更斯当之无愧是数学期望概念的奠基人。
三、求解点子问题
所谓点子问题是：甲乙二人，其技巧相当，约定谁先胜s 局则获全部赌金。若进行到甲胜s1 局而乙胜s2 局时( s1 < s , s2 < s) ,因故停止，赌金应如何分配才公平？
惠更斯深刻认识到点子问题的重要性，因而在其著作中有6 个命题讨论了该问题。命题4 - 7 都是有关二人的点子问题，而命题8 和命题9 将问题推广到三人及若干个人。
惠更斯的解决思路为：赌徒分得赌注的比例等于其获胜的概率。他假设赌徒在每局获胜的概率不变，且各局间相互独立。这样就可以归结为一般问题：
设随机试验中某随机事件每次成功的概率为p ,重复独立进行该试验若干次，求在b 次失败前取得a 次成功的概率。
惠更斯认识到点子问题的关键与已胜局数无关，而与离全胜所差局数相关。设甲离全胜所差局数为a= s - s1 ,而乙为b = s - s2 ,则至多再进行的局数为a + b - 1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。
命题4 - 7 分别为( a , b) = (1 ,2) , (1 ,3) , (2 ,3) , (2 ,4) 。
点子问题推广后可应用于当今一些体育比赛问题。如甲、乙两队进行某种比赛，已知每局甲胜的概率为016 ,乙胜的概率为014。可采用3 局2 胜制或5 局3 胜制进行比赛，问哪种比赛制度对甲有利？ 点子问题可转化为古典概型中的三大概型之一的摸球问题。即从装有m 个白球n 个黑球的袋子中有放回摸球，求在摸到a 次黑球前摸到b 次白球的概率。由此又可以转化为大量的应用问题。二项分布、几何分布、负二项分布等常见离散型分布均可由点子问题引申出来，所以点子问题的圆满解决是概率论诞生的标志之一。
当时梅勒问帕斯卡的另一个问题是：据经验知，一颗骰子连掷4 次“至少出现一个6 点”的概率大于1p2 ;两颗骰子掷一次的结果6 倍于一颗骰子掷一次的结果，那么，两颗骰子掷24 次“至少出现一对6 点”的概率也应大于1p2 ,但的经验并非如此，应如何解释？! 梅勒愤怒地谴责数学，粗暴地断言，算术是自相矛盾的。惠更斯对此也进行了深刻讨论，并将其分解成如下三个命题。
命题10 一颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一个6 点”?
命题11 两颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一对6 点”?
命题12 一次掷多少颗骰子有利于“至少出现一对6 点”?
惠更斯利用命题3 及递推法圆满解决了上述问题。
四、独创分析法
在《论中的计算》的最后两个命题中，惠更斯创立了著名的“惠更斯分析法”来解决概率问题。
命题13 甲、乙二人，将两颗骰子掷一次，若其点子和为7 则甲赢，为10 则乙胜，为其它点则平分赌注。试求二人分配赌注的比例。
命题14 a ,b 二人轮流掷两颗均匀的骰子，若a 先掷出7 点，则a 胜；若b 先掷出6 点，则b 胜。b 先掷，求a 获胜的概率。
对命题14 ,惠更斯的解法为：设全部赌注为t ,a 的期望为x ,则b 的期望为t - x ,则当b 掷时，a 的期望为x ;当a 掷时，a 的期望为y 。因每次投掷时，a 的获胜概率为6p36 ,b 的获胜概率为5/36 ,由命题3 得5/36 ×0 +31/36 y = x 6/36 t +30/36 x = y 。
解得x = 31 t/36 即a 获胜的概率为31/36 。
这个问题的求解与前面的方法不同，通过列代数方程来求解，这是惠更斯的独创，该方法后被雅可布(jacob bernoulli ,1654 —1705) 称之为“惠更斯分析法”〔4〕。惠更斯没有给出进一步的讨论，但按其思想可得更一般解法。可见，惠更斯从数学期望入手，明确给出了概率的客观意义，但他的概率计算全是通过期望来进行的。从期望出发解释概率，与以概率定义期望的现代概率论恰恰相反。因此，惠更斯的概率思想值得探究。
五、惠更斯的5 个问题
惠更斯的最后5 个问题，虽也都是在形形的机制中，计算一方取胜的概率，但在概率论诞生初期，这无疑是向同时代数学家的挑战〔5〕。他说：“给我的读者(如果有的话) 留下一些思考题应该是有益的，这将供他们练习或者打发时间。”
问题1 两人玩掷双骰子游戏。若a 掷出6 点则赢，而b 掷出7 点胜。a 先掷一次后， b 掷二次，a 再掷二次，如此下去直至一方获胜。a 与b 的胜负比是多少？ (答案：10355 比12276)
该问题是费马在1656 年6 月向惠更斯提出的，显然它是命题14 的推广。在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提到问题解决方案。
问题2 一袋中装有4 个白球8 个黑球，3 人蒙住眼睛轮流摸球。先得白球者获胜，求三人获胜的机会比。
惠更斯在其1665 年的笔记中给出问题答案为9∶6∶4 。
问题3 有40 张牌，每种花色10 张。甲同乙打赌他能抽出花色不同的4 张牌，每人投的赌注应是多少？(答案：1000∶8139)
这个问题由费马在1656 年6 月向惠更斯提出，在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提出问题解决方案。
问题4 一袋中装有4 个白球8 个黑球，甲同乙打赌他能在摸出的7 个球中含有3 个白球。求二人获胜的机会比。
惠更斯在其1665 年的笔记中记录着这个问题的答案为35∶99 。
问题5 二人玩掷三颗骰子游戏，甲乙各有12 个筹码，若掷出11 点，甲给乙一个筹码，而掷出14 点，则乙给甲一个筹码，直至两人中有一人输光。求甲乙获胜的机会比。(答案：244140625∶282429536481)
这个问题就是著名的赌徒输光问题，也叫具有两个吸收壁的随机游动问题。它由帕斯卡向费马提出，后卡卡维于1656 年9 月28 日的信中告知惠更斯，其中含有帕斯卡和费马的解答。惠更斯在1656 年10 月12日给卡卡维的回信中提出自己的解法，其证明过程可在其1676 年的读书笔记中发现。
六、历史评价
到17 世纪时，不少学者已对中的某些问题进行了讨论，并挖掘了其中的数学原理。但对当时的大多数学家来说，概率论是庸俗的游戏，难登大雅之堂。正是社会的发展及其需要，才推动了概率论的发展。如果没有社会的需要，概率论至今恐怕仍然只能在牌桌上显示神通。“概率论产生于”,这个观点是错误的或者说是不完全对的。“问题”和“理性思考”是概率论产生的两个必要条件，而后者更重要。犹如苹果落地千千万，而只有牛顿从中发现了万有引力定律。
不少学者错误地认为，帕斯卡、费马和惠更斯三人一起讨论了概率问题，而后者仅是将前二者的结果著书立说。从该书的撰写过程来看，惠更斯几乎全是自己独立解决的这些概率问题，虽帕斯卡、费马间接给他提供了一些问题，但均无解答过程。概率史界认为，帕斯卡与费马的通信标志着概率论的诞生。然而他们的通信直至1679 年才完全公布于世，故惠更斯的《论中的计算》标志着概率论的诞生。因此，不少学者宣称惠更斯为概率论的正式创始人。惠更斯的《论中的计算》不仅是第一部概率论著作，而且是第一个把该学科建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系，第一次对以前概率论知识系统化、公式化和一般化。�
1657 年9 月《论中的计算》出版后立即得到学术界的认可和重视。该书在欧洲多次再版，作为概率论的标准教材长达50 年之久。直至1713 年雅可布的《猜度术》出版才遏制住该书的再版，然而该书的影响还在继续。因《猜度术》的第一卷就是《论的计算》的注释，并籍此建立了第一个大数定理。法国数学家棣莫弗(a1de moiver ,1667 —1754) 的《机会学说》也是在该书的基础上，由二项分布的逼近得到了正态分布的密度函数表达式。拉普拉斯在此基础上给出古典概率的定义。因此，惠更斯的概率思想对古典概率的影响是重要而持久的，其方法可以看作那一时期的特点。但是，至于什么是“理想理论”,需要考虑它的历史发展阶段，不能苛求古人，也不能执于一偏。
尽管惠更斯的《论中的计算》已出版300 余年了，但其科学的思想方法已跨越时空在数学教育尤其是概率论的学习中散发着无穷的力量。了解其内容有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉普拉斯所说“一门开始于研究机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情。” 〔参考文献〕
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〔2〕李文林等译1 数学史通论〔m〕. 北京：高等教育出版社，2004 ,2.
〔3〕anders hald1a history of probability and statistics and their application before 1750〔m〕. awiley - interscience publication.1990.
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〔5〕todhunter.i.a history of the mathematical of theory of probability from the times of pascal to that of laplace〔m〕.new york :chelsea ,1965.
概率论论文 篇五
杨向群的业绩受到党和政府的尊重、学界的推崇。他先后被推选为第七届全国人大代表、第七、八届国家自然科学基金会数学学科评审组成员、湖南数学学会副理事长等。
步入了浩瀚的知识殿堂
杨向群原名杨广通，又名杨超群，1939年9月23日出生于湖南省蓝山县古城乡古城村一个农民家庭。他5岁入基圣小学，天资聪颖，学习成绩优异。进六里小学读高小时丧父，家贫，不得不辍学。他酷爱学习，想继续读书，竟以高小肄业考取蓝山县立中学。他刻苦攻读，全面发展，尤以数学成绩突出。1953年考取郴州市一中，编入高14班，任班学习委员、团支部宣传委员，先后获“三好学生”称号、学校全面发展奖章、校作文比赛一等奖、全市数学竞赛一等奖等。
1956年参加高考，杨向群以优异成绩考取全国重点大学南开大学，攻读数学专业。这所学校曾是周恩来、邓颖超的母校，具有光荣的革命传统，而且师资力量很强，学习环境好。当时，南开大学有许多我国著名的数学家，如吴大任、胡国定、邓汉英、周学光，以及刚从苏联莫斯科大学攻读概率论，学成回国的王梓坤博士等。王梓坤讲授概率论出神入化，深深地吸引了杨向群，并培养了他后来对整个数学的热爱和执著。1961年，他由本科毕业直升该校数学系的概率论与数理统计的研究生，在导师王梓坤的指导下，从事马尔可夫过程的研究，从此奠定了他终身从事概率论研究的人生道路。
王梓坤是与陈景润齐名的数学家。他是第一个将马尔可夫过程引入我国，并进行系统研究的人，后� 他为青年教师和本科生开设概率论基础及其应用课程，培养、造就了概率论的教学和科研队伍。杨向群在这所著名的高等学府和这位名师的指导下，开展研究工作，如鱼得水。他逐步掌握了科学理论研究思维方式，并善于在纷繁复杂的问题体系中抓出主要问题。
杨向群思路开阔，表现出非凡的才华。从1964年开始，他的《一类生灭过程》《关于生灭过程构造论的注记》《柯氏向后微分方程的边界条件》《可列马氏过程的积分型泛函和双边生灭过程的边界性质》《生灭过程的性质》《双边生灭过程》等6篇论文相继在《数学学报》《数学进展》《南开大学学报》上发表，并被美国数学学会译成英文收录在美国的《概率论与数理统计论文选集》中。这些论文的发表和收录，让他在数学领域里引起了同行们的瞩目。当时湖南一位年轻的大学教师读了这些论文后，很受教育和启发，多次向杨向群求教并索取相关资料，若干年后，他也成了研究马尔可夫过程的著名学者。
下放仍坚持研究概率论
1965年，杨向群在南开大学研究生毕业，分配到江西师范学院任教，旋即被派往农村搞“四清”工作。
1968年11月，由于“文革”的原因，江西师范学院的教师被下放农村，杨向群来到江西省贵溪县志光公社横田大队插队落户。当时他还未成家，单身一人，便与同时下放到这里的10多名十五六岁的知识青年组成新家。这群孩子名为知识青年，实际上连初中生的水平都没有。他们是“文革”初期的红卫兵，只会冲冲闯闯，打打杀杀，既没有劳动技能，更没有劳动习惯。杨向群成了“孩子王”，每天带领他们下地干活，推独轮车送肥，出完集体工后，再带着他们回来种菜、做饭。这群在城市中长大、娇生惯养的孩子吃不消，闹情绪。杨向群一到公社开会或外出办事，他们就闹事闯祸。杨向群考虑到实际情况，与公社、大队干部研究，将他们转到养猪场种菜、喂猪。养猪场有专人做饭、烧茶水，干活单纯，也便于管理。杨向群想，现在这段时间对这群孩子来说，应该是学文化长知识的最好时期，如果耽误，实在可惜。于是他利用农闲，组织他们进行学习。
身体瘦弱的杨向群在插队落户的4年多时间里，自己要带头干农活，还要带领跳皮王干好农活，安排他们的生活。后来转到横田大队猪场后，他不但要和这群知青一道去喂猪、种饲料，还要去杀猪卖肉。高等学府培养的出类拔萃的人才干这种体力重活，实在是对人才的摧残。横田大队的干部、社员都很同情杨向群，有个老农对他说：“你在这里受的苦太多了，忍受一下吧，不看重知识分子，不要文化，这种世道不会长久，有一天，会有人把你请出去的。”
杨向群坚信以后党和国家-定会把科学研究工作重新提到日程上来，他感到时间紧迫。他想，现在不抓紧时间搞科研，等到日后要成果又拿不出来，那不很尴尬吗？因此，尽管白天劳动强度大，但到了晚上他就抓紧时间研究概率论。夜深人静，人们熟睡之际，正是他思维活跃之时。他利用回南昌拿换洗衣被什物的机会，到图书馆查阅有关资料，密切注视国际上对概率论研究的动向。在这段时间，他对“构造论里的样本轨道的极限过渡法”进行了研究，解决了寿命为无限的生灭过程的构造，用两种不同的办法来处理两种不同的情况。这些研究为他日后撰写论文，做好了思想和资料上的准备工作。这在当时是要冒很大风险的，轻则扣上“崇洋媚外”的帽子，重则会当作对抗“五七”指示加以批斗。好在他掩饰得很好，晚上挑灯夜战，白天辛勤劳动，谁也没有发现他在默默无闻地做研究工作。
概率论论文 篇六
一是课时设置较少，而老师为了完成教学任务，不得不加快速度，知识点没办法讲细，势必会造成学生“贪多嚼不烂”;且课程内容较多，如果老师本身的知识结构沉淀不够，只是“照本宣科”，简单介绍概念、定义、理论和方法，缺少对实际的概率统计背景知识及发展现状的介绍，忽视对学生实践和应用能力的培养，导致所教知识、方法不能被学生接受、及时掌握。二是在应试教育的影响下，学生思维固定，缺乏学习的主动性。许多学生学习的目的是为了考试过关，对于考试涉及不到的课程知识，就只是简单了解或干脆不学，所以在整个学习过程中，不注重课程思想方法的领悟，只是忙于做题，把学习的目标仅仅定位于能看懂例题，会做课后习题，只关心具体解题的步骤，从而去模仿解题，而不是领会课程知识所呈现的方法。三是教师忽略与相关学科间的关系，只进行单一教材的课堂教学，没有适当穿插一些相关学科的知识，教学资源不能得到优化配置；教材比较陈旧，理论联系实际的应用实例较少，即使有一些联系实际的实例，也不涉及到当今科技信息，导致了学习与实践的脱节；教师在教学中解决实际问题的能力不够，理论与实际联系少之又少，即使有，表现的应用背景也被形式化的演绎一带而过，学生“雾里看花”，难以琢磨、难以理会，畏惧心理滋生。同时，教材中都是一些联系很紧凑的理论，以及简化了过程的证明和计算，学生感觉不到学习乐趣，意义就更谈不上了，这也是造成很多学生放弃对这门课程的学习，只背重点、记忆模仿解题应付考试的重要原因。
2问题的解决方案
2．1从整体内容上把握教材
根据《概率论与数理统计》教材，该课程整体上是讲述三个大的问题：一是概率论部分，介绍必要的理论基础；二是数理统计部分，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析的方法；三是随机过程部分，在讲清基本知识的基础上主要讨论了平稳随机过程，是随机变量的集合，能完全揭示概率的本质。课本上的很多问题都是围绕这三个问题来讲述的，因此，要打破“重理论，轻应用”“重概率，轻统计”的教学思想，且从整体上完整地对这三个问题进行讲授。由于概率论与数理统计的知识点多而零散，初学者对知识点不容易全面系统地把握，所以老师在教学中要经常引导学生进行简单复习回顾，从而使学生能够高效而快速地理解所学知识，系统掌握这有机结合的三部分内容。
2．2在讲授中要有其客观背景
很多学生虽然在中学接触过概率知识，但那只是皮毛，大学更注重的是思想的培养，而且本课程从内容到方法与其它数学课程都有本质的区别。因此，老师在讲解基本概念时，一定要把来龙去脉讲清楚。比如在评价棉花的质量时，“既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大，偏离较小，质量较好”，这些常识性知识容易理解，学生也有兴趣听，然后就此引入概念———这是由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数� 由此就很自然地引出了数字特征、数学期望、方差、相关系数和矩，这样学生就很好地理解了概念的实际背景。也就是说，在概念定理的教学中，首先应该在概念、定理产生的背景上下功夫，找出每个概念的实例，用大量事实来说明提出这些概念定理的客观依据是什么，它在实际应用中有什么意义。比如，一个随机变量由大量的相互独立的随机因素综合影响而形成，而且其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，那么这种现象正是中心极限定理的客观背景；再如，在介绍随机过程时，不妨从随机过程实例出发，如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化等等。如果忽视了概念与定理产生的实际背景，离开实际去讲概念和定理，学生会觉得学习内容枯燥，而且也很难理解，更不会应用于解决实际问题，这样就降低了学习的积极性，也没有发挥该课程的功能。
2．3在教学过程中使用案例教学
案例教学的主角是学生，通过学生之间对概念、定义、定理、标注、例题积极主动的讨论，以达到更深入理解和掌握的目的。在教学中引入的案例，要能够激发学生的学习兴趣、学习积极性和参与讨论的主动性。如何选取案例，就要求教师在备课当中多花时间找资料、思考，在教学案例中尽可能选取社会热点、先进的科技信息为案例素材，尤其财经类院校应尽可能编写一些涉及财经信息方面的案例。比如，讲到随机变量内容部分，定要在金融经济学中编写涉及到的随机变量的案例；讲到中心极限定理部分，投资学中期权定价理论就是一个很好的案例；讲到参数估计和评价时，保险精算中对平均寿命函数的估计和评价则是很好的案例；随机过程部分，分数布朗运动投资组合的风险度量都是很好的案例等等。如此教学，才能激发学生的学习兴趣，在讨论中逐步体会基本概念、定义、定理的来龙去脉，实现了有效学习，培养了学生解决实际问题的能力和抽象概括、推理论证的能力。
2．4重视引导学生主动思考问题
培养创新思维“在教学过程中提出一些思考性和启发性都很强的问题，让学生分析、研究和讨论，引导学生去发现问题，分析问题，然后解决问题。”学生的学习要自觉要靠自己，不是由教师牵着走，而是由教师引导走，“授人与鱼，只供一日之炊；授人与渔，使人受益终身”，所以教师应多引导、鼓励学生主动思考问题。比如，教师在每次课结束前5分钟进行下堂课新知识的介绍时，对本堂课学的知识点和前面学过的知识做个串联，最好能随手画出知识点“网络状”图，引导学生积极思考，引出下次课要讲的内容，勾起学生的预习兴趣。再如，在讲课时，教师可以针对本节课的内容设计一系列“问题链”，用“问题链”带动和完成课堂教学，可很好地引导学生主动思考、创造性思维，引导学生思考、发现问题，讨论、做出结论，从而逐步地使教学由“灌输式教育”向“创新型教育”转变，教学互动，教学相长。同时，教师一定要想方设法改变“学生被动接受知识”为自主、有兴趣地去学习知识，引导和组织学生展开讨论，鼓励学生提出大胆的猜想，及时解决学生提出的问题，激发学生的求知欲，注重教学方法的灵活运用，鼓励学生动手探究和创新，这样教学效果才会明显。
3结语
对于概率论与数理统计这门课程，要从整体上把握课程思想，了解课程的客观背景，在教学过程中充分使用案例教学，引导学生主动思考问题，培养学生的兴趣和创新性思维，这样不仅能使学生对概率论与数理统计的学习产生浓厚兴趣，而且可以培养学生主动思考问题、解决问题的能力，从而实现财经类院校设置该课程的目标。教学不仅仅是传授知识，它更是一门艺术，是需要反复思考、反复提高的艺术。教师需精心备课，充分准备，始终以教学目的为中心，争取上好每一节课，高效率地完成教学任务。教学方法的改革始终是各高校非常重视的一个焦点，也是需要每个教师反复思考、改进的重点，我们教师要不断地提高和完善自己的知识结构，紧跟新的科技信息的步伐，努力寻求一种新的突破。
概率论论文 篇七
概率论最早用来研究。但可以推断它还没有完全成功，因为全世界的越开越多，没听说哪家输给过赌徒。不过它的学术地位日益被尊崇，2002年的诺贝尔经济学奖授予以色列心理学家丹尼尔•卡纳曼，他一部分工作就是解决概率论的应用问题。
命运和机会的不可知，在于它的结果不确定。赌徒不知道下一铺开庄还是开闲。概率论不能化不确定为确定，但它可以改变问题的提法。概率论把各种结果的可能性列出，计算它们的概率。在概率论里，大概率就是命运。站在命运一边，就是永远站在大概率这一边。大概率不能保证全中，却会让你多赢。
粗略地了解概率论不困难，困难的是建立概率论的思考方法和习惯。永远站在大概率的一边，谈何容易？人天生是反概率论的动物，面临选择之际，只要直觉做主，人们会表现得很愚蠢――哪怕是训练有素的数学教授。上世纪八九十年代，玛丽莲•瓦•莎凡是吉尼斯世界最高智商纪录(228)的保持人。她的专栏《请问玛丽莲》,专门解答读者的各种问题，350种报纸同时刊登，总发行量达到3600万份。她最有名的问答发生在1990年9月。读者的问题是：“假设某个益智节目的参赛者，可以在三扇门中选择一扇打开，其中一扇门后面是一辆汽车，另外两扇门后面各是一头山羊。主持人当然知道门后面是什么。在参赛者选了一扇门以后，主持人打开剩下两扇门中的一扇，门后面是一头羊，他对参赛者说，‘你要不要改变选择，换另外那扇没打开的门’?参赛者该不该换呢？”
这个问题来自一档真实的电视益智节目。那档节目播出将近27年，一共4500集，留下记忆的就是这个以主持人名字命名的“蒙提霍尔问题”。这个问题看起来蛮无聊的：就剩下两扇门，打开其中一扇，你赢了；打开另外一扇，你输了。答案似乎很明显，不管换不换，赢的机会都是一半一半。
问题是，玛丽莲在她的专栏中说：“选择换的胜算比较大。”
这个回答引来了1万多封读者来信，92%的读者认为玛丽莲错了。其中有1000个博士，许多数学教授。甚至连20世纪最重要的数学家，写过1475篇论文(数学史之最)的保罗•厄尔斯都认为玛丽莲错了。
实际上，玛丽莲是对的。这是一个在16世纪就已经解决，重要但并不复杂的概率问题。当参赛者面对三扇门，进行第一次选择的时候，他获胜的机会是三分之一，他失败的机会是三分之二。换句话说，他没有选的那两扇门，等于三分之二的选中机会。当主持人进行干预，排除掉一扇没有汽车的门后，让参赛者做第二次选择，参赛者完整地获得了三分之二的机会。参赛者获胜的机会提高了一倍。
我初读这个题目时毫无意外地选择错误。一位概率学家说过：“我们的脑袋生来就不是解决概率问题的料。”人们的直觉总是会把貌似简单的表象当真相，不愿意做稍微深入复杂的思考，喜欢简单的算法，喜欢赋予事物简单的因果联系。
另外，概率论里只有可能性或者可能性的大小，没有必然性。哪怕是百分之九十九点九九九的极大概率，最后的结果也会化为乌有。人们的直觉排斥结果的不确定，概率论得不到人们直觉的认同和信赖。大多数人永远不会明确地以概率论的方法思考问题。在这个几乎什么都无法确定的世界上，谁养成概率论的思考习惯，谁就多了八成胜算――用概率论来算。
概率论论文 篇八
概率论与数理统计案例教学方法的应用中，案例的正确选择非常重要，选择合适的案例可以让学生能更好的进入数学知识点的学习中，身临其境的体会概率论与数理统计带来的学习乐趣，使课堂气氛变得活跃，从而提高教学质量，同时也增强了学生学习的主动性。例如：选择概率和的案例进行教学，教师可以适当对的相关知识进行拓展；然后将概率和的中奖率联系起来，提出概率的运算思路，在其中添加统计的知识点，让学生大胆的提出问题；最后，对概率和统计进行归纳，对概率和中奖率的关系进行解答，增强学生的学习兴趣，培养学生的独立思考能力，从而达到案例教学的目的，促进教学质量的不断提高。因此，正确选择案例，活跃课堂气氛，在教师的带动作用下，数学教学可以变得很轻松愉悦，概率论与数理统计的教学质量可以得到快速提高，从而促进学生综合素质能力的全面发展。
二、开放学生思维，明确教学目的
在数学教学过程中，学生是是教学的主体，每个人都有自己的思维能力，所以教师必须明确教学目的，使学生的思维得到尽可能的开放，促进学生探索创新能力的不断提高。因此，教师在选择案例时，要综合评估学生的学习能力，对概率的概念、公式进行仔细讲解，将统计知识点贯穿到整个课堂教学，使案例突出教学重点，达到知识点融汇教学的教学目的。开放课堂教学，不仅可以使学生掌熟练握更多的概率论与数理统计知识点，更能拉近学生与作者、学生与自己的师生距离，使师生之间的感情更加融洽，从而大大提高教学质量的目的。
三、有效组织教学，提高综合能力
在数学学习是整个过程中，打好基础是非重要的，因此，在概率论与数理统计的教学中运用案例教学，教师要有效组织教学，促进学生综合能力的提高。针对概率论与数理统计的难点和易点，循序渐进的提升难度，让学生熟练掌握每个知识点，培养学生敏捷的数学思维能力，不断开阔学生的视野，使学生的概率论与数理统计分析能力变得更强，从而达到提高教学质量的目的。例如：针对篮球投篮问题，根据球队人数的变化来计算投篮的概率，从最简单的计算开始，随着人数的变化，计算复杂程度也变得越来越高。这就是一个概率论与数理统计知识点逐渐加深的案例，通过这个案例教学，学生的思维能力可以不断增强，综合能力也会得到不断提高。
四、课后教学总结，不断改革创新
概率论与数理统计的教学中，案例教学方法应用的课后总结，是教师对课堂教学不足的完善，可以有效保证案例教学的教学质量，不断创新教学方法和模式，同时促进教师自我的不断提升。课后总结，分为学生的总结和教师的总结，学生通过总结，可以对案例教学进行仔细的分析，培养学生处理问题和解决问题的思路，提升学生实践动手能力；教师总结时，对重点知识进行再度印象加深，促进学生不断探索和创新，从而促进教师教学的不断创新。
五、结束语
总而言之，在教师的带动下，概率论与数理统计中案例教学方法的应用，可以让学生掌握不同的学习技巧，促进学生综合能力的全面提升，从而得到提高教师教学质量的教学目的。
概率论论文 篇九
农家孩子，步入了浩瀚的知识殿堂
杨向群原名杨广通，又名杨超群，1939年9月23日，出生于湖南省蓝山县古城乡古城村一个农民家庭。5岁入基圣小学，后进六里小学读高小，天资聪颖，学习成绩优异。此时丧父，家贫，不得不辍学。后竟以高小肄业考取蓝山县立中学。他刻苦攻读，尤以数学成绩突出。1953年考取郴州市一中，先后获“三好学生”称号、学校全面发展奖章、校作文比赛一等奖、全市数学竞赛一等奖。
1956年参加高考，他以优异成绩考取全国重点大学之一的南开大学数学专业本科，步入浩瀚的知识殿堂。当时南开大学有许多我国著名的数学家，例如吴大任、胡国定、邓汉英、周学光，以及刚从苏联莫斯科大学攻读概率论，学成回国的王梓坤博士。大五时，王博士讲授概率论出神入化，深深地吸引了杨向群，并培养了他后来对整个数学的热爱和执着。1961年，他由本科毕业直升该校数学系的概率论与数理统计的研究生，在导师王梓坤的教授下，从事马尔可夫过程的研究，从此奠定了他终身从事概率论研究的人生道路。
王梓坤教授是与陈景润齐名的数学家，他是第一个将马尔可夫过程引入我国，并进行系统研究，后� 他为青年教师和本科生开设概率论基础及其应用课程，辛勤地培养、造就了概率论的教学和科研队伍。杨向群在这所著名的高等学府和这位名师的指导下，开展研究工作，如鱼得水。他逐步掌握了科学理论研究思维方式，并善于在纷繁复杂的问题体系中抓出主要问题。他思路开阔，表现出非凡的才华。从1964年开始，他的《一类生灭过程》、《关于生灭过程构造论的注记》、《柯氏向后微分方程的边界条件》、《可列马氏过程的积分型泛函和双边生灭过程的边界性质》、《生灭过程的性质》、《双边生灭过程》等6篇论文相继在《数学学报》、《数学进展》和《南开大学学报》上发表，有的论文由美国数学学会译成英文在美国发表。这些论文的发表，在数学领域里引起了同行们的瞩目。当时湖南的一位年轻的大学教师读了这些论文后，很受教育和启发，多次向杨向群求教，索取相关资料，若干年后，他也成了研究马尔可夫过程的学者。
下放农村，仍坚持对概率论的研究
1965年，杨向群在南开大学研究生毕业，分配到江西师范学院任教，旋即被派往农村搞“四清”工作。
1968年11月，由于“”的原因，江西高校受到冲击，江西师范学院也被拆散了，教师被赶下农村，杨向群来到江西贵溪县志光公社横田大队插队落户。当时他还未成家，单身一人，便与同时下放到这里的l0多名十五、六岁的知识青年组成新家。这群孩子名为知识青年，实际上连初中生的水平都没有。他们是“”初期的红卫兵，只善于冲冲闯闯，打打杀杀，既没有劳动技能，更没有劳动习惯。杨向群成了“孩子王”，每天带领他们下地干活，推独轮车送肥。出完集体工后，还要回来种菜、做饭，这群在城市中长大、娇生惯养的孩子怎么也吃不消。杨向群与公社、大队干部研究，将他们转到养猪场种饲料、种菜、喂猪，养猪场有专人做饭、烧茶水，干活单纯，也便于管理。杨向群想，现在这段时间对这群孩子来说，应该是学文化长知识的最好时期，如果耽误，实在可惜。于是他利用农闲，组织他们进行学习。
身体瘦弱的杨向群在插队落户的四年多的时间里，不但自己要带头干农活，还要带领这群知青一道去喂猪、种饲料，有时甚至还要去杀猪卖肉。高等学府培养的出类拔萃的人才干这种强体力的重活，实在是对人才的摧残。横田大队的干部、社员都很同情杨向群，有个老农对他说：“你在这里受的苦太多了，忍受一下吧，不看重知识分子，不要文化，这种世道不会长久，有一天，会有人把你请出去的。”
杨向群坚信：“暴风雨”过后，党和国家-定会把科学研究工作提到日程上来。现在不抓紧时间搞科研，等到日后要成果又拿不出来，那不很糟糕吗？虽然白天劳动强度大，但到了晚上他就抓紧时间从事研究概率论的工作。夜深人静，人们熟睡之中，正是他思维活跃之时，笔尖下汨汨流淌，又一篇论文的雏形已经形成。他利用回省城南昌拿换洗衣被什物的机会，到图书馆去查阅有关资料，密切注视国际上对概率论研究的动向。在这段时间，他对“构造论里的样本轨道的极限过渡法”进行了研究，解决了寿命为无限的生灭过程的构造，用两种不同的办法来处理两种不同的情况。这些研究为他日后撰写论文，做好了思想和资料上的准备工作。这在当时是要冒很大风险的，轻则扣上“崇洋”的帽子，重则会当作对抗“五七”指示加以批斗。好在他意志坚强，晚上挑灯夜战到深夜，白天仍坚持工作没有倦意，谁也没有发现他在默默无闻地做研究工作。
任湘潭大学校长，为教师排忧解难
1972年，杨向群结束了插队落户的生活，被调往湖南邵阳二纺子弟学校任教。他不仅教初中、高中，还教初小、高小，也教看图识字。
1976年粉碎“”后，迎来了科学的春天。他和王梓坤、侯振挺、郭青峰申报的《齐次可列马尔可夫过程的研究与成果简介》论文荣获1978年全国科学大会奖。喜讯传到二纺厂子校，师生们向他热烈祝贺。同年9月，杨向群被调到湘潭大学任教，并由助教破格晋升为副教授。10月，他的《齐次可列马尔可夫过程的理论》获湖南科学大会奖。1979年他又获湖南省高等学校“六五”期间科研成果奖。
1996年，他的又一本专著《两参数马尔可夫过程论》出版，于1999年荣获国家教育部科技进步一等奖。湖南师大聘请他为终身教授。随后，他被推选任湖南师范大学教学委员会主任、湖南省数学学会副理事长、国家自然科学基金委员会数理学科评审组成员。
杨向群教授热爱教师职业，热爱数学教学工作，学风正派，治学严谨，有良好的教学效果。他不仅给本科生上课，而且已培养了40多名研究生，造就了新的数学人才。他们大多数已成为国内、外各条战线上的骨干，有的成为教授、副教授、博士，有的获得其他高级职称和副高级职称等。
他的研究成果，在国际上一直是领先的
在上世纪60年代初，杨向群从事概率论中马尔可夫过程的研究，在《数学学报》等多家杂志上，都被美国数学学会将它收入到美国的《概率论与数理统计论文选集》中。在上世纪80年代至本世纪初，杨向群又发表高水平的论文80余篇，在国内外出版发行专著4部。他终身研究马尔可夫过程，为中国和世界作出了可喜的贡献。
马尔可夫过程的构造问题是国际上概率论研究中一个重要而困难的问题，至今已有60余年的历史。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A・A・马尔可夫于1907年提出。人们在实践中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。杨向群的导师王梓坤将马尔可夫过程引入我国后，潜心研究，彻底解决了生灭过程的构造问题，也就是说，他找出了全部的生灭过程，更为重要的是，他创立了马尔可夫过程构造论中的一种崭新方法--概率论方法，亦称过程轨道的极限过渡法。这个新方法在用过程轨道研究过程的性质时显示出极大的优越性。他在概率论研究的方向上作出了许多重要的、出色贡献。
杨向群继承了导师的研究成果，撰写了《可列马氏过程的积分型泛函和双边生灭过程的边界性质》，在《数学进展》上发表，后由美国数学学会译成英文在美国发表，备受世界各国概率论专家的关注。随后，发表了《生灭过程与马尔可夫链》，解决了双有限构造问题，打破了1964年以来一直由外国学者领先的结果，至今仍处于领先的地位。为此，美国数学学会聘请他为该会成员并兼任美国《数学评论》杂志评论员。
杨向群1986年出版的专著《可列马尔可夫过程构造论》，被誉为世界科研专业名著，全书除第1章中必须引用前人的结果外，其余基本上都是杨向群本人的研究成果，其中新得到的结果目前国际上仍然是领先的。本书主要采取概率方法和分析方法相结合，这种结合是杨向群所首创和系统使用的。著名概率论专家、英国皇家学会院士、剑桥大学教授D.G.Kendall为该书英文版作序。序中写道：“这部专著首先井井有条地阐述了马尔可夫过程的基本结构，接着在后面的篇章中进一步阐述了主要是杨向群自己的以及其他几位中国学者新近研究的先进的学术成果。”著名的概率论专家P.G.Pollet在Annal of probability杂志上撰专文对该书进行评价：“杨的书的英文版的出版是及时的，它与西方的研究者们在构造论中重新燃起的兴趣相一致。本书报告了近二十年来中华人民共和国的概率论学者作出的激动人心的成就。”英国Wiley&Sons出版公司在新书介绍中也写道：“一本该领域中延伸到研究前沿的新书。构造论是马尔可夫过程理论的核心课题。杨向群是一位卓越的中国学者，他处于该领域的前沿。”杨向群和学生合著的《两参数马尔可夫过程论》出版后也受到高度评价：“本书在多参数马尔可夫过程的研究领域中，达到了国际领先水平，是该领域不可多得的优秀理论专著。”《科学通报》杂志有专文评述：“专著全面总结了这一分支在国内外的研究进展。当然，大部分成果是作者自己获得的。该书是当前国内外研究多参数马尔可夫过程的唯一专著。本书对两参数马尔可夫过程的研究建立了一个基本的理论框架。”
杨向群教授的研究工作长期得到国家自然科学基金委员会的基金资助，得到国家教育部、湖南省人民政府以及所在工作单位和同事们的大力支持。目前，他与他的学生们一道，从事马尔可夫过程爆发后的性质研究，保险和数理金融的理论及其应用研究。
概率论论文 篇十
愉快和谐的课堂环境是上好一门课的基础。课堂教学除了知识交流外，还要有情感交流，教学活动是在知识、情感这两方面互相作用、互相制约下完成的。只注重知识讲解，而忽视与学生的情感交流是不可能取得理想的教学效果的。教师微笑的面容、温柔的目光、落落大方的仪表会给课堂奠定愉快而和谐的基调，为学生的学习创造良好的心理环境。在讲课过程中要用眼神与学生交流，当看到学生听懂后的喜悦表情时，会受到激励，使自己振奋；如果学生抬头率低，或者表示疑惑，就要想办法再讲一讲。教学中不能妄自尊大，要以学生为主体，以人为本，以调动学生的学习主动性、积极性为手段，以提高学生的学习兴趣、学习能力和创新意识为宗旨，在激发学生潜能、启迪学生思维的过程中传授知识与技能，促进学生知识、能力和素质的综合协调发展。
二、针对课程特点运用高效的教学方法与手段
针对课程特点运用高效的教学方法与手段是上好一门课的关键。概率论与数理统计是研究和探索客观世界中随机现象的一门数学学科，在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、气象与自然灾害预报等方面起到非常重要的作用。作为一门应用性很强的学科，它已经成为高等学校工、农、经管等专业的一门重要基础课程。概率论与数理统计的教学内容要求讲授五章概率论，两章数理统计。由于概率论与数理统计的课时一般为48学时，加上这门学科的文字性描述很多，仅仅采用传统黑板加粉笔的教学手段，会促使老师拼命赶进度、加大课堂信息量，以便完成教学任务，这种“满堂灌”的教学模式忽视学生的感受，导致这门趣味性极强的课程达不以应有的教学效果。如果合理采用PPT讲授这门课程，就可以节省许多当堂板书时间，这样教师在有限的教学时间中可以进行更多的教学活动，从而达到意想不到的效果。
教师可以根据教学内容，紧密联系学生的生活环境及专业特色，通过PPT创设学生熟悉与感兴趣的教学情境，通过一幅幅熟悉的画面和精心设计的热点问题激发学生的学习积极性，让学生真正成为课堂学习的主体，拥有学习主动权。要注重具体案例的选择，紧密联系现实生活，激发学生的求知欲。但在使用PPT的过程中，有些推导、演算的东西，可以用粉笔在黑板上一点点地推导能更好地引导学生思考。通过PPT展示一定数量的课堂练习，关注学生的差异，设计不同水平的题目使每个学生都有机会参与教学活动，可以让学生集体讨论，努力改变原有老师一味讲、学生一味听的被动局面，在集体讨论的过程中，教师要在学生中间转圈，指导他们。每堂课都要用PPT做小结，帮助学生梳理课堂的主要内容和重难点，让学生做到心中有数，弥补PPT教学容易遗忘的缺陷。
科学完善的评价体系对打造高效的数学课堂也是尤为重要的，它可以让学生在课堂上始终保持高涨的学习积极性和强烈的主体性。评价的主要目的是全面了解学生的学习历程，激励学生学习和改进教师教学。评价学生学习状况的主要目的是激励优秀学生努力学习，取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。传统考核机制实行一卷定终身的闭卷考试模式，忽视基础条件的差异，只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础相对薄弱的很难起到鼓励作用。教师可以根据授课学生实际情况实行多样化考核方式，适应不同学生的发展要求。如加大平时成绩的权重，重点考察课堂表现和作业情况，帮助基础薄弱的学生树立信心，对于基础好的学生，可以鼓励他们根据自身发展目标，在参加传统闭卷考试和撰写论文之间做出选择，论文主要是结合专业特色做一篇研究报告，或者做一篇课程论文，可以一人独撰，也可以多人合作完成。这种考核机制有助于培养优秀大学生的创新意识和团队协作意识。