椭圆及其标准方程 篇一

我说课的题目是全日制普通高级中学教科书（试验修订本。必修）《数学》第二册、第八章《圆锥曲线》、第一节《椭圆及其标准方程》。

一、概说：

1、教材分析：

椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。是后继学习的基础和范示。同时，也是求曲线方程的深化和巩固。

2、教学分析：

椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。

3、学生分析：

高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。

基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。

引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。

我设定的教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。

教学难点 是：标准方程的推导。

二、目标说明：

根据数学教学大纲要求确立“三位一体”的教学目标 。

1、知识与技能目标：

理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：

(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。

三、过程说明：

依据“一个为本，四个调整”的新的教学理念和上述教学目标 设计教学过程 。“以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标 、新型的教学方式、新型的呈现方式”体现如下：

（一）对教材的重组与拓展：根据教学目标 ，选择教学内容，遵循拓展、开放、综合的原则。教材中对椭圆定义尽管很严密，但不够直观，所以增加了影音文件：海尔波谱彗星的运行轨道图，最后，让学生交流用几何画板画椭圆以及5个探究性问题，作为对教材的拓展。

（二）在教学过程 中的体现：

1、新课导入  ：以影音文件“海尔波谱彗星的运行轨道示意图”导入  ，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣；画板画图，增强动手操作意识，直观形象从而引入椭圆定义，进而研究椭圆标准方程。

2、新课呈现：

学生通过观看文件、动手操作，然后自己总结椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力。然后，进行推导椭圆的标准方程，培养运算能力，进而探讨标准方程的特点。教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，培养严谨的逻辑思维，抽象概括的能力，渗透数学美学教育，掌握数形结合的重要数学思想，最后的几个探究性问题鼓励学生积极探索，敢于探究，转变学习方式。

3、巩固应用

根据定义及其标准方程，设计三组九道练习题，引导学生联系、思考、讨论、反馈、矫正，增强运用能力。

4、继续探究：

（1）观察椭圆形状，不同原因在哪里；

（2）改变绳长或变换焦点位置再画椭圆，发现关系；

（3）用几何画板交流画图，观察形状变化；

（4）如何描述形状变化？

引导学生探究欲望，开展研究性学习。

四、评价说明：

本节课的学生评价坚持形成性评价和阶段性评价相结合的原则。

（一）形成性评价：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做的精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。

（二）阶段性评价：从单元测试、期中测试等方面对学生的阶段性学习成果进行测试。评价结果以每次测试成绩和学生平时的综合表现为依据。同时要进行学生的自我评价以及教师对行动的综合性评价。

（三）教师自我反思评价：本课充分体现了“一个为本，四个调整”的新课程理念。

五、说课总结：

这节课使用计算机网络技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。

椭圆及其标准方程 篇二

【考试要求】掌握椭圆的定义、标准方程，理解椭圆的参数方程。【学习重点】1、椭圆的两个定义及离心率，准线与 a，b，c三个量之间的关系；2、椭圆方程的求解，定义灵（www.kaoyantv.com)活运用。【学习难点】椭圆方程的求解，定义灵活运用。【高考风向标】椭圆是一种重要的圆锥曲线，因而是高考命题的热点之一。常与平面几何、三角函数、向量等以及实际问题相联系来考查椭圆的概念和性质，定值、最值、取值范围等问题将会有所加强，计算要求将有所降低，参数方程可能在考查其他内容时附带考查，一般不会单独命题。【知识整合】1、 椭圆的定义：(1)第一定义：平面内与两个定点f1、f2的距离的   等于常数    (         ) 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点f1、f2叫做     ,定点间的距离叫做     .①当     时，点p的轨迹是线段   ; ②当     时，点p的轨迹不存在。(2) 第二定义：平面内动点p到定点f的距离和它到定直线 的距离的  是常数  (       )的点的轨迹是椭圆。定点f是    ,定直线 是    ,常数e是       2、 椭圆的标准方程

椭圆焦点的位置

方程的形式

焦点在x轴上

焦点在y轴上

其中：①焦距为2c，则a，b，c关系为a最大且a2=        ；②由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准方程的形式的方法是         ；当椭圆是标准方程，但焦点位置不确定时，可应用分类讨论法解答，也可设其方程为               或                 ③求椭圆方程的基本步骤是：                  （六个字概括）3、 椭圆+=1（a＞b＞0）的参数方程为            （     ）4、 点p(x0,y0)在椭圆+=1（a＞b＞0）的上                ;点p(x0,y0)在椭圆+=1（a＞b＞0）的内部              ; 点p(x0,y0)在椭圆+=1（a＞b＞0）的外部              .【基础练习】（1）     已知f1（-1，0），f2（1，0），满足|pf1|+|pf2|=2 的点p的轨迹为              ；若|pf1|+|pf2|=2时，点p的轨迹为               （2）f1，f2是椭圆的两个焦点，椭圆上任一点到f1，f2的距离和为常数2a，过f1的直线交椭圆于c、d两点，则△cdf2的周长为          （3）(课本题)已知b、c是两个定点，|bc|=6,且△abc的周长等于16,则顶点a的轨迹方程                  （4）设m是椭圆+=1上的点，f1，f2是焦点，∠f1mf2=300，则 =   （5）平面内与定点f（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2，则点p的轨迹方程是            ，轨迹是                          变式1：若将“1：2”改为“1：3”呢？                           变式2：若将“f（2，0）”改为“f（1，0）”呢？                     【典型例题】例1(课本题)求适合下列条件的椭圆的方程：(1)长轴是短轴的2倍，且一条准线方程为x=-4;(2)离心率等于0.8,焦距是8; (3)过点m(-2, )和n(1, )的椭圆方程。

平行题： 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形，且焦点到椭圆的最短距离为

例2、(1) △abc的一边bc在x轴上，b、c的中点在原点，|bc|=16，ab和ac两边中线长的和为30，求△abc的重心g的轨迹方程。 (2)求过点a(2,0)且与圆x2+4x+y2-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程。　平行题：(1)(课本题)已知△abc的两个顶点a、b的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边ac、bc所在直线的斜率之积等于 - ,求顶点c的轨迹方程(2)动圆c和定圆c1:x2+(y-4)2=64内切而和定圆c2:x2+(y+4)2=4外切，求动圆圆心的轨迹方程例3、已知点a(1,1),f1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，点p是椭圆上的动点，求：|pf1|+|pa|的最小值和|pf1|+|pa|的最大值平行题：已知点a(-2, ),点f为椭圆+=1的右焦点，点m在椭圆上移动，求|am|+2|mf|的最小值，并求此时点m的坐标。  【巩固练习】1、（01全国）若椭圆经过原点，且焦点为f1(1,0),f2(3,0),则其离心率为(    )a.          b.          c.          d. 2、已知 为定直线，f为定点，点f不在 上，则以f为焦点， 为对应准线的椭圆有(     )a. 1个         b. 2个       c.1个或2个    d. 无穷多个3、曲线c1: +=1与c2: +=1(k<9)有相同的（    ）a。长轴        b。准线    c。焦点        d。离心率4、点p在椭圆7x2+4y2=28上，则点p到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为(     )a.      b.    c.      d. 5、设p是椭圆+=1上一点，p到两焦点f1、f2的距离之差为2,则△p f1f2是(     )三角形a.锐角          b.直角       c.钝角         d.等腰直角6、若椭圆+=1的离心率为e=,则m的值为          7、已知点p在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的取值范围为           8、和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过q(2,-3)的椭圆的标准方程是                     9、(课本题)点m与椭圆+=1的左焦点和右焦点的距离的比为2:3,点m的轨迹方程               ;10、(课本题)点p是椭圆+=1上一点，以点p以及焦点f1、f2为顶点的三角形的面积等于1,则点p的坐标为

椭圆及其标准方程 篇三

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。

设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。

椭圆及其标准方程 篇四

教学目标 

1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

2.能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

3.通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

4.通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

教学建议

教材分析

1.  知识结构

2.重点难点分析

重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。难点是椭圆标准方程的建立和推导。关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法。

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用。先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然。学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的。

（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解。

另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 .这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于 时轨迹是一条线段；当常数小于 时无轨迹”。这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质。但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性。

（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方。应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁。

②设椭圆的焦距为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ，令 ，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会。

③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点。要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项。

④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”。这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求。

（3）两种标准方程的椭圆异同点

中心在原点、焦点分别在 轴上， 轴上的椭圆标准方程分别为： ， .它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有 ， .不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同。

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大。

另外，形如 中，只要 ， ， 同号，就是椭圆方程，它可以化为 .

（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法。例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆。

教法建议

（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣。

为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的。

（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识。

（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质

在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程 中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系

在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）.虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法。

（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法。

推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识。通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项。（为了避免二次平方运算）

（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识。

（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识

椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念。对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析。

（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。

椭圆及其标准方程 篇五

教学目标

1.把握椭圆的定义，把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

2.能根据条件确定椭圆的标准方程，把握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

3.通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

4.通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步把握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习爱好和创新意识。

教学建议

教材分析

1. 知识结构

2.重点难点分析

重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。难点是椭圆标准方程的建立和推导。关键是把握建立坐标系与根式化简的方法。

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先碰到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用。先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然。学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的。

(1)对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解。

另外要注重到定义中对“常数”的限定即常数要大于 .这样规定是为了避免出现两种非凡情况，即：“当常数等于 时轨迹是一条线段；当常数小于 时无轨迹”。这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质。但讲解椭圆的定义时注重不要忽略这两种非凡情况，以保证对椭圆定义的准确性。

(2)根据椭圆的定义求标准方程，应注重下面几点：

①曲线的方程依靠于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注重的地方。应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整洁和简洁。

②设椭圆的焦距为 ,椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ,令 ,这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整洁、简洁，要让学生认真领会。

③在方程的推导过程中碰到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常碰到的问题，又是学生的难点。要注重说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项。

④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证实，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”。这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求。

(3)两种标准方程的椭圆异同点

中心在原点、焦点分别在 轴上， 轴上的椭圆标准方程分别为： , .它们的相同点是：外形相同、大小相同，都有 , .不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同。

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大。

另外，形如 中，只要 , , 同号，就是椭圆方程，它可以化为 .

(4)教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法。例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆。

教法建议

(1)使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好。

为激发学生学习圆锥曲线的爱好，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。假如这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的。

(2)安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的熟悉。

(3)对椭圆的定义的引入，要注重借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性熟悉入手，逐步上升到理性熟悉，形成正确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点(两定点之间的距离小于细线的长度),再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点(两定点之间的距离大于细线的长度),然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

椭圆及其标准方程 篇六

教学目标

1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

2.能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

3.通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

4.通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

教学建议

教材分析

1.  知识结构

2.重点难点分析

重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。难点是椭圆标准方程的建立和推导。关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法。

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用。先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然。学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的。

（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解。

另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 .这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于 时轨迹是一条线段；当常数小于 时无轨迹”。这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质。但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性。

（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方。应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁。

②设椭圆的焦距为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ，令 ，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会。

③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点。要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项。

④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”。这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求。

（3）两种标准方程的椭圆异同点

中心在原点、焦点分别在 轴上， 轴上的椭圆标准方程分别为： ， .它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有 ， .不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同。

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；

椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大。

另外，形如 中，只要 ， ， 同号，就是椭圆方程，它可以化为 .

（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法。例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆。

教法建议

（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣。

为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的。

（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识。

（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质

在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系

在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）.虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法。

（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法。

推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识。通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项。（为了避免二次平方运算）

（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识。

（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识

椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念。对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析。

（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。

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椭圆及其标准方程 篇七

教学目标：

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程。

(二)能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力。

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神。

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆标准方程的推导。

教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力。

教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳。

教学过程：

(一)设置情景，引出课题

问题：XX年10月12日上午9时，“神州六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州六号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州六号”运行轨道图片。

(二)启发诱导，推陈出新

复习旧知识：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么形式？

提出新问题：椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？它的标准方程又是什么形式？

引出课题：椭圆及其标准方程

(三)小组合作，形成概念

动画演示椭圆形成过程。

提问：点m运动时，f1、f2移动了吗？点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？

下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：

1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？

3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：

椭圆

线段

不存在

并归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(四)椭圆标准方程的推导：

1.回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简。

2.提问：如何建系，使求出的方程最简？

由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结果。

各组分别选定一种方案：(以下过程按照第一种方案)

①建系：以 所在直线为x轴，以线段 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

②设点：设 是椭圆上任意一点，为了使 的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设 ,则

设 与两定点 的距离的和等于

③列式： ∴

④化简：(这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？)

椭圆及其标准方程 篇八

一、教材内容分析

本节是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。

二、学情分析

高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。

基于上述分析，我采取的是 “创设问题情景-----自主探索研究-----结论应用巩固”的一种研究性教学方法，教学中采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。使学生真正成为课堂的主体。

三、设计思想

1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的实用性；

2、进行分组实验，让学生亲自动手，体验知识的发生过程，并培养团队协作精神；

3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；

四、教学目标

1、知识与技能目标：

理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：

(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。

五、教学的重点和难点

教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。

教学难点：标准方程的推导。

四、说教学过程

（一）、创设情景，导入新课。（3分钟)

1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。

2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆形状的物体？对学生的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。

设计意图：通过观看影音资料，一方面使学生简单了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对研究椭圆产生心理期待。通过图片、实物，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。从而激发学生的学习积极性和参与热情。

（二）、动画演示，探索研究(15分钟）

引导学生互相配合利用细绳和铅笔动手画椭圆，通过巡视找出作图比较规范的同学用细绳和粉笔演示。再根据多媒体规范演示椭圆的形成过程。根据作图过程，让学生思考：轨迹为椭圆需满足的条件，引导学生总结椭圆定义。

设计意图：注重概念形成过程，通过让合作交流，思考问题；让学生都积极地参与到学习中来，体现学生主体意识，开动大脑，训练思维。使知识从感性认识自然过渡到理性认识，增强了他们的集体凝聚，树立团队意识，培养学生的观察、归纳、概括能力。

定义：设问：（1）、为什么强调“平面内”？ （2）、对常数有什么限制？

（3）、常数的取值不同时，轨迹如何变化？

设计意图：培养学生动手实践能力，通过分组讨论提高发现问题的能力和提炼总结能力。在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。

（三）、构建方程，探索新知（10分钟）

探索方程这一部分，采用自主、合作方式，引导学生从方程思想、建系思想、等价换元等不同的角度分析归纳，并将小组讨论出的较为优秀成果展示出来，培养学生学习过程中的团队意识，也体验了数学思维的条理性和系统性。

1、根据求曲线方程的一般步骤建立椭圆方程：

（1）、建系设点； （2）、列方程（3）、化简方程； （4）、等价转化；

设问：怎样选取坐标系？  怎样化简含有两个根式的方程？   ③为什么要引入b？

2、推导得出椭圆的标准方程为：(a>b>0)  或  (a>b>0)

设问：①两种方程有何异同？  ②怎样根据条件确定焦点的位置？

设计意图：1、通过方程的推导，学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。培养学生的发现、探究、研究能力；

2、设置问题，引导学生独立思考、使之成为知识的发现者；

3、鼓励学生富于个性化的理解和表达。

(四)、操作演练、拓展思维（5分钟）

例题： 求适合下列条件的椭圆的方程：

①、两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点p到两焦点距离的和等于10。

②、两个焦点的坐标分别是(0,-4)、(0,4)，椭圆上一点p到两焦点距离的和等于10。

③、焦距为 8，椭圆上一点p到两焦点距离的和等于10。

设计意图：学以致用，运用研究成果解决问题，并通过变式训练，质疑讨论、师生互动，培养学生乐于动手、勇于实践的能力。通过变式训练来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性。深化知识点的掌握，突出重点、难点 。

练习1：已知椭圆的标准方程为，m为椭圆上的一点，m到一个焦点的距离是3，则它到另一个焦点的距离等于          。

练习2：下列各组椭圆中，其焦点相同的是：(    )

a、与           b、与

c、与           d、与

练习3：已知椭圆，、是它的焦点，ab是过的直线被椭圆截得的线段长，求△的周长。

练习4：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)  焦点坐标为(0,-4)、(0,4)，a=5;

(2)  焦点在x轴上，焦距等于4,并且经过点p(3,-2);

设计意图：练习一是填空题，设计此题的目的让学生加深对椭圆的定义的理解，以便更好的夯实基础知识；练习二是选择题，融入相对练习一较多的知识点，渗透类比思想，让学生从不同的角度分析、补充，强化学生的发散思维、培养学生的创新意识；练习三、四则是练习一与二的有机综合，充分渗透数形结合思想，较好的提高了学生的综合能力，从中感受数学的魅力。也为下一节课的进一步提高作了铺垫。

（五）课堂总结，完善认知（1分钟)

一个概念：椭圆：

二个方程：；；

三个意识：求美意识；求简意识；猜想的意识。

四个思想：数形结合、类比、方程、转化与化归

设计意图：培养归纳、概括能力，并巩固研究成果。同时，通过小结，使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。

（六）布置作业，巩固提高：

1、教材96页——习题8.1第3、4题

2、课后实践操作题：一束光线垂直于一个墙面，将一圆形纸板置于光源与墙面之间，墙面上会出现纸板的影子，变化纸板与光线的角度，观察影子会出现哪些不同的形状？

设计意图：使学生探究、思考、实践的过程延伸到课后。体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。

（七）板书设计

8.1椭圆及其标准方程

1、椭圆的定义

2、有关概念

3、标准方程

（1）焦点在轴上

（2）焦点在轴上

标准方程的推导过程书写

例1：（写要点）

变式1：（写要点）

变式2：

（1）详写

（2）写关键步骤