等比数列的性质是什么呢？是什么意思？等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1时，an为常数列。下面是快回答给大家整理的11篇等比数列教案，希望可以启发您对于等比数列的写作思路。

等比数列 篇一

以上是第一范文网小编为大家整理的高中数学《等比数列的前n项和》说课稿，希望对大家有所帮助。

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

2.从学生认知角度看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

3.学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

4.重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析

知识与技能目标：

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础

上能初步应用公式解决与之有关的问题。

过程与方法目标：

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转

化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。

情感与态度价值观：

通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之

间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

三、过程分析

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：

1.创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。

此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。

2.师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

探讨1：，记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系？(学生会发现，后一项都是前一项的2倍)

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现？

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。

经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：.老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢？

设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

3.类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，

这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。

设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

对不对？这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为

1q=1时是什么数列？此时sn=?(这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。)

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？(引导学生得出公式的另一形式)

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。

4.讨论交流，延伸拓展

《等比数列》教学设计 篇二

一、设计思想

1、设计理念

本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的。，一方面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。

2、设计背景

传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。

3、教材的地位与作用

本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。

二、学习目标

⑴知识与技能

掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

⑵过程与方法

通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 ⑶情感、态度与价值观

通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

教学重点

教学难点

错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

四、教学过程

（一）创设问题情景

课前给出复习：等比数列的定义及性质

课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了

下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，

以后每天所借的钱数都比上一天多1万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后

每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但

又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下，穷

人能否向富人借钱

[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中

来！]

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

穷人30天借到的钱：S301230

穷人需要还的钱：S301222229'(130)302 465（万元）

[直觉先行，思辨引路，在矛盾冲突中引发学生积极的思维！]

教师紧接着把如何求S301222229？的问题让学生探究，

S301222229 ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到

2S30222229230②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

S3023011073741823(分) ≈1073(万元)＞465（万元）

答案：穷人不能向富人借钱

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题：如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）

等比数列 篇三

教学目标

1.掌握等比数列前 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；

（2）用方程的思想认识等比数列前 项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；

2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想。

3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度。

教学建议

教材分析

（1）知识结构

先用错位相减法推出等比数列前 项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前 项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前 项和。

（2）重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用。公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前 项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法。 等比数列前 项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 和 两种情况。

教学建议

（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题。

（2）等比数列前 项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论。

（3）等比数列前 项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣。

（4）编拟例题时要全面，不要忽略 的情况。

（5）通项公式与前 项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大。

（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题。

教学设计示例

课题：等比数列前 项和的公式

教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和。

（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质。

（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度。

教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路。

教学用具

幻灯片，课件，电脑。

教学方法

引导发现法。

教学过程

一、新课引入：

（问题见教材第129页）提出问题： （幻灯片）

二、新课讲解：

记 ，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消。

（板书）即 ， ①

， ②

②－①得 即 .

由此对于一般的等比数列，其前 项和 ，如何化简？

（板书）等比数列前 项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比 ，即

（板书） ③两端同乘以 ，得

④，

③－④得 ⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的取值）

当 时，由③可得 （不必导出④，但当时设想不到）

当 时，由⑤得 .

于是

反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列。

（板书）例题：求和： .

设 ，其中 为等差数列， 为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和。

解： ，

两端同乘以 ，得

，

两式相减得

于是 .

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。

公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可。

三、小结：

1.等比数列前 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前 项和。

四、作业：略。

五、板书设计：

等比数列前 项和公式 例题

等比数列 篇四

教学目的：1.掌握等比数列的定义。 2.理解等比数列的通项公式及推导； 理解等比中项概念。 教学重点：等比数列的定义及通项公式 教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 教学过程： 一、复习引入：1.等差数列的定义： － =d ，（n≥2，n∈n*） 2.等差数列的通项公式： 3.几种计算公差d的方法：d= － = = 4.等差中项： 成等差数列 二、讲解新课： 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点？ 1，2，4，8，16，…，263; ① 5，25，125，625，…； ② 1，－ ，…； ③ 对于数列①， = ; =2（n≥2） 对于数列②， = ; =5（n≥2） 对于数列③， = · ； （n≥2） 共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数

1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： ｛ ｝成等比数列 =q（ ,q≠0） 注意：等比数列的定义隐含了任一项 2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有： ； ； ； … … … … … … … 3.等比数列的通项公式2: 4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。 5.等比中项：如果在a与b中间插入一个数g，使a,g，b成等比数列，那么称这个数g为a与b的等比中项。 即g=± （a,b同号） a,g,b成等比数列 g =ab（a·b≠0） 三、例题例1 课本 p123例1，请同学们认真阅读题目，并自己动手解题。 例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。（课本p123例2） 例3 求下列各等比数列的通项公式： 1. =-2, =-8 （答案 ） 2. =5, 且2 = -3 例4. 求数列 =5, 且 的通项公式 解： 以上各式相乘得： 例5. 已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证 是等比数列。（课本p123 例3） 四、练习： 1.求下面等比数列的第4项与第5项： （1）5，－15，45，……； （2）1.2，2.4，4.8，……； （3） ，……. 2. 一个等比数列的第9项是 ，公比是－ ，求它的第1项。 五、作业：课本 p 125习题3.4 1（2）（4），2， 5， 6，7（2），8， 9.

《等比数列》教学设计 篇五

一、教材分析

从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。

就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到。

就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神，是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

二、教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的`求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。

三、教学重点和难点

重点：等比数列的前 项和公式的推导及其简单应用。从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。

突出重点方法：“抓三线、突重点”，即（一）知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线：特殊到一般、猜想归纳→ 错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度。

难点：等比数列的前 项和公式的推导。从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物。

突破难点手段：“抓两点，破难点”，即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。

等比数列 篇六

教学目标

1.把握等比数列前 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

(1)理解公式的推导过程，体会转化的思想；

(2)用方程的思想熟悉等比数列前 项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；

2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想。

3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的练习，培养他们实事求是的科学态度。

教学建议

教材分析

(1)知识结构

先用错位相减法推出等比数列前 项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前 项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前 项和。

(2)重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用。公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前 项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是把握推导公式的方法。 等比数列前 项和公式是分情况讨论的，在运用中要非凡注重 和 两种情况。

教学建议

(1)本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题。

(2)等比数列前 项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证实结论。

(3)等比数列前 项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的爱好。

(4)编拟例题时要全面，不要忽略 的情况。

(5)通项公式与前 项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大。

(6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题。

教学设计示例

课题：等比数列前 项和的公式

教学目标

(1)通过教学使学生把握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和。

(2)通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质。

(3)通过教学进一步渗透从非凡到一般，再从一般到非凡的辩证观点，培养学生严谨的学习态度。

教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路。

教学用具

幻灯片，课件，电脑。

教学方法

引导发现法。

教学过程

一、新课引入：

(问题见教材第129页)提出问题： (幻灯片)

二、新课讲解：

记 ,式中有64项，后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消。

(板书)即 , ①

, ②

②-①得 即 .

由此对于一般的等比数列，其前 项和 ,如何化简？

(板书)等比数列前 项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比 ,即

(板书) ③两端同乘以 ,得

④,

③-④得 ⑤,(提问学生如何处理，适时提醒学生注重 的取值)

当 时，由③可得 (不必导出④,但当时设想不到)

当 时，由⑤得 .

于是

反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列。

(板书)例题：求和： .

设 ,其中 为等差数列， 为等比数列，公比为 ,利用错位相减法求和。

解： ,

两端同乘以 ,得

,

两式相减得

于是 .

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题。

公式其它应用问题注重对公比的分类讨论即可。

三、小结：

1.等比数列前 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前 项和。

四、作业：略 .

五、板书设计：

等比数列前 项和公式例题

《等比数列》教学设计 篇七

教学目标：

1、通过图形直观的表征，让学生更加清晰求的都是同一个阴影部分的。面积。从而让学生直观地看到了加减法算式之间的联系，越来越接近1，感悟极限思想。

2、培养学生利用图形来分析问题、解决问题的意识和能力。

3、重视利用图形来分析题意，理清思路，提高解决问题的能力

一、创设情景，导入新课

计算出结果。

二、探索交流，解决问题

1、教学例2

计算

从第二个数开始，每个数是前一个数的

我一个一个加下去看看，答案好像有点规律。加下去，等号右边的分数越来越接近于1。

可以画个图来帮助思考。用一个圆或一条线段来表示“1”。

从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。

2、渗透极限思想。

如果不停地加下去，

1、猜一猜“和”是多少？

2、请用“形”来解释这个结果。

3、反馈：

如果不停地加下去，空白部分会怎么样？

那的结果怎么样？（无限接近1。）

运用知识

你能用所学知识解决下列问题吗？

我是这样想的

所以原式的结果是1。

三、布置作业

作业：第110页练习二十二，第3题、第4题、第5题。

高中数学等比数列教案 篇八

等比数列的性质

知能目标解读

1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来。

2.理解等比数列的性质及应用。

3.掌握等比数列的性质并能综合运用。

重点难点点拨

重点：等比数列性质的运用。

难点：等比数列与等差数列的综合应用。

学习方法指导

1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列。

2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比。我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,则 = = =…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列。

3.如果数列{an}是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q;?{|an|}?也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q,且满足 =q,则 = =q,所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.

4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1•a1qn-1

=a21qm+n-2,atas=a1qt-1•a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积。

5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2,则

(1){anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.

(2) { }仍为等比数列，且公比为 .

理由如下：(1) =q1q2,所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2;(2) • = ,

所以{ }仍为等比数列，且公比为 .

知能自主梳理

1.等比数列的项与序号的关系

(1)两项关系

通项公式的推广：

an=am• (m、n∈N+).

(2)多项关系

项的运算性质

若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，

则am•an= .

特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，

则am•an= .

2.等比数列的项的对称性

有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1•an=a2• =ak• =a 2 (n为正奇数).

[答案]　1.qn-m　ap•aq　a2p

2.an-1　an-k+1

思路方法技巧

命题方向　运用等比数列性质an=am•qn-m (m、n∈N+)解题

[例1]　在等比数列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.

[分析]　解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.

[解析]　解法一：设公比为q,由题意得

a1q=2 a1= a1=-

，解得 ，或 .

a1q5=162 q=3 q=-3

∴a10=a1q9= ×39=13122或a10=a1q9=- ×(-3)9=13122.

解法二：∵a6=a2q4,

∴q4= = =81,

∴a10=a6q4=162×81=13122.

解法三：在等比数列中，由a26=a2•a10得

a10= = =13122.

[说明]　比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用。

变式应用1　已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小。

[解析]　解法一：由已知条件a1>0,q>0，且q≠1,这时

(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)•(1-q4)

=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,

显然，a1+a8>a4+a5.

解法二：利用等比数列的性质求解。

由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)

=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).

当0

当q>1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，

∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正。

∴a1+a8>a4+a5.

命题方向　运用等比数列性质am•an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题

[例2]　在等比数列{an}中，已知a7•a12=5，则a8•a9•a10•a11=(　　)

A.10　　　　　　　　B.25　　　　　　　　C.50　　　　　　　　D.75

[分析]　已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程。

[答案]　B

[解析]　解法一：∵a7•a12=a8•a11=a9•a10=5，∴a8•a9•a10•a11=52=25.

解法二：由已知得a1q6•a1q11=a21q17=5，

∴a8•a9•a10•a11=a1q7•a1q8•a1q9•a1q10=a41•q34=(a21q17) 2=25.

[说明]　在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果。

变式应用2　在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.

[解析]　∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.

又∵a4a8=5,an>0,

∴a4+a8= = = .

探索延拓创新

命题方向　等比数列性质的综合应用

[例3]　试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：

①a1+a6=11;②a3•a4= ;③至少存在一个自然数m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由。

[分析]　由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.

[解析]　假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1•a6=a3•a4,得

a1+a6=11　　　　　 a1= a1=

，解得 ，或

a1•a6= a6= a6= .

a1= a1=

从而 ，或 .

q=2 q=

故所求数列的通项为an= •2n-1或an= •26-n.

对于an= •2n-1,若存在题设要求的m,则

2am= am-1+(am+1+ ),得

2( •2m-1)= • •2m-2+ •2m+ ,得

2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在。

对于an= •26-n,若存在题设要求的m，同理有

26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.

综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an= •26-n.

[说明]　求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用。

变式应用3　在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.

[解析]　由题意得a22=a1a4，

即(a1+d) 2=a1(a1+3d)，

又d≠0,∴a1=d.

∴an=nd.

又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比数列，

∴该数列的公比为q= = =3.

∴akn=a1•3n+1.

又akn=knd,∴kn=3n+1.

所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.

名师辨误做答

[例4]　四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1 ，求这个等比数列的公比。

[误解]　设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得

a3q-3=1, ①

aq-1+aq+aq3=1 . ②

由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2= 或q2=- (舍去)，故所求的公比为 .

[辨析]　上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误。

[正解]　设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得

(aq)3=1,　　 　 ①

aq+aq2+aq3=1 .　②

由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q= 或q=- ,故所求公比为 或- .

课堂巩固训练

一、选择题

1.在等比数列{an｝中，若 a6=6,a9=9,则a3等于(　　)

A.4　　　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　　D.3?

[答案]　A?

[解析]　解法一：∵a6=a3•q3,

∴a3•q3=6.?

a9=a6•q3，

∴q3= = .

∴a3= =6× =4.

解法二：由等比数列的性质，得

a26=a3•a9，

∴36=9a3，∴a3=4.

2.在等比数列{an｝中，a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于(　　)

A.90　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.70　　　　　　　　　　D.40

[答案]　D

[解析]　∵q2= =2,?

∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.

3.如果数列{an｝是等比数列，那么(　　)?

A.数列{a2n｝是等比数列　　　　　　　　　B.数列{2an｝是等比数列

C.数列{lgan｝是等比数列　　　　　　　　 D.数列{nan｝是等比数列

[答案]　A

[解析]　数列{a2n｝是等比数列，公比为q2,故选A.

二、填空题

4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为 .?

[答案]　1?

2b=a+c,

[解析]　由题意知

b2=ac,

解得a=b=c,∴q=1.

5.在等比数列{an｝中，公比q=2,a5=6,则a8= .?

[答案]　48

[解析]　a8=a5•q8-5=6×23=48.

三、解答题

6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?

[解析]　∵{an}为等比数列，?

∴a1•a9=a3•a7=64,又a3+a7=20,?

∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根。?

∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?

当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,?

∴1+q4=5，∴q4=4.?

当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20,

∴1+q4= ，∴q4= .?

∴a11=a1q10=a3q8=64或1.

课后强化作业

一、选择题

1.在等比数列{an}中，a4=6,a8=18,则a12=(　　)

A.24　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.54　　　　　　　　D.108?

[答案]　C?

[解析]　∵a8=a4q4,∴q4= = =3,

∴a12=a8•q4=54.

2.在等比数列{an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为(　　)

A.124　　　　　　　　B.128　　　　　　　C.130　　　　　　　D.132

[答案]　B?

[解析]　∵a2+a3=2,a4+a5=16,?

又a4+a5=(a2+a3)q2,

∴q2=8.?

∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.

3.已知{an｝为等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于(　　)

A.5　　　　　　　　　B.10　　　　　　　　C.15　　　　　　　D.20?

[答案]　A?

[解析]　∵a32=a2a4,a52=a4a6,?

∴a32+2a3a5+a52=25,

∴(a3+a5) 2=25,?

又∵an>0,∴a3+a5=5.

4.在正项等比数列{an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于(　　)

A.16　　　　　　　　B.32　　　　　　　　C.64　　　　　　　D.256?

[答案]　C?

[解析]　由已知，得a1a19=16,?

又∵a1•a19=a8•a12=a102,

∴a8•a12=a102=16,又an>0,?

∴a10=4,

∴a8•a10•a12=a103=64.

5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a25,a2=1,则a1=(　　)?

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.2?

[答案]　B?

[解析]　∵a3•a9=a26,又∵a3a9=2a25,?

∴a26=2a25,∴( )2=2,?

∴q2=2,∵q>0,∴q= .

又a2=1,∴a1= = = .

6.在等比数列{an｝中，an>an+1，且a7•a11=6,a4+a14=5,则 等于(　　)

A. 　　　　　　 　B. 　　　　　 　　C. 　　　　　 　　　D.6

[答案]　A

a7•a11=a4•a14=6

[解析]　∵

a4+a14=5

a4=3 a4=2

解得 或 .

a14=2 a14=3

又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.

∴ = = .

7.已知等比数列{an｝中，有a3a11=4a7,数列{bn｝是等差数列，且b7=a7,则b5+b9等于(　　)

A.2　　　　　　　　　B.4　　　　　　　　C.8　　　　　　　　D.16

[答案]　C

[解析]　∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,

∴a7=4,∴b7=4,

∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.

8.已知0

(　　)

A.等差数列？　　　　　　　　　　　　　　B.等比数列？

C.各项倒数成等差数列？　　　　　　　　　D.以上都不对？

[答案]　C?

[解析]　∵a,b,c成等比数列，∴b2=ac.?

又∵ + =logna+lognc=lognac

=2lognb= ,?

∴ + = .

二、填空题

9.等比数列{an｝中，an>0，且a2=1+a1,a4=9+a3,则a5-a4等于 .

[答案]　27

[解析]　由题意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,

∴q2=9,又an>0,∴q=3.?

故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.

10.已知等比数列{an｝的公比q=- ,则 等于 .

[答案]　-3

[解析]　 =

= =-3.

11.等比数列{an}中，an>0,且a5•a6=9,则log3a2+log3a9= .

[答案]　2

[解析]　∵an>0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9

=log3a5a6=log39=log332=2.

12.(2011•广东文，11)已知{an｝是递增等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q= 　.

[答案]　2?

[解析]　本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得。

解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?

因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.

因为an为递增数列，所以q=2.

三、解答题

13.在等比数列{an｝中，已知a4•a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求a10.

[解析]　∵a4•a7=a3•a8=-512，

a3+a8=124 a3=-4 a3=128

∴ ，解得 或 .

a3•a8=-512 a8=128 a8=-4

又公比为整数，

∴a3=-4,a8=128,q=-2.

∴a10=a3•q7=(-4)×(-2)7=512.

14.设{an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1•b2•b3=-3,求此等比数列的通项公式an.?

[解析]　由b1+b2+b3=3,?

得log2(a1•a2•a3)=3，

∴a1•a2•a3=23=8，

∵a22=a1•a3，∴a2=2,又b1•b2•b3=-3,

设等比数列{an｝的公比为q，得？

log2( )•log2(2q)=-3.

解得q=4或 ，

∴所求等比数列{an｝的通项公式为

an=a2•qn-2=22n-3或an=25-2n.

15.某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万件。如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？.

[解析]　设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2010年起，连续3年的产量依次为a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x) 2,成等比数列。

由100(1+x) 2=121得(1+x) 2=1.21,

∴1+x=1.1或1+x=-1.1,?

∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?

a2=100(1+x)=110(万件)，?

所以每年增长的百分率为10%，2011年生产这种零件110万件。

16.等差数列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比数列。求数列{an}前20项的和S20.

[解析]　设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.

由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a26，?

即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,?

整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.

当d=0时，S20=20a4=200，?

当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7,?

于是，S20=20a1+ d=20×7+190=330.

等比数列 篇九

教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题。 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力。3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解。教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式。 2.等差数列与等比数列的综合应用。例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项。例2 已知数列{an}的前n 项和 ，求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立。若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由。 例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值。 例5、 已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。 (2)证明{an}是递减数列。 例6、在数列{an}中，an>0， = an+1 (n n)　求sn和an的表达式。 例7.已知数列{an}的通项公式为an= .求证：对于任意的正整数n，均有a2n─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。作业 1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（ ）. （a）1 （b）2 （c）3 （d）4 2 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（ ）. （a）－5 （b）7 （c）9 （d）14 3 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则 的值是 . 4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数。 5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又cn＝an－bn（n∈n+），已知 试求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式。

等比数列 篇十

教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题。 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力。3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解。教学重点与难点 用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式。 例题例1 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数也可以成等比数列，又知这三个数的和为6，求这三个数。例2 数列 中， , , , , ……，求 的值。例3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两个数之和是21，中间两个数的和是18，求这四个数。例4 已知数列 的前 项的和 ，求数列 前 项的和。例5 是否存在等比数列 ，其前 项的和 组成的数列 也是等比数列？例6 数列 是首项为0的等差数列，数列 是首项为1的等比数列，设

，数列 的前三项依次为1，1，2，

（1）求数列 、 的通项公式；

（2）求数列 的前10项的和)快回答○www.kuaihuida.com(。例7 已知数列 满足， ， .

(1)求证：数列 是等比数列；

(2)求 的表达式和 的表达式。

作业：

1. 已知 同号，则 是 成等比数列的

（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件

（c）充要条件 （d）既不充分而也不必要条件

2. 如果 和 是两个等差数列，其中 ，那么 等于

（a） （b） （c）3 （d）

3. 若某等比数列中，前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为

(a)180 (b)108 (c)75 (d)63

4. 已知数列 ，对所有 ，其前 项的积为 ，求 的值，

5. 已知 为等差数列，前10项的和为 ，前100项的和为 ，求前110项的和

6. 等差数列 中， ， ，依次抽出这个数列的第 项，组成数列 ，求数列 的通项公式和前 项和公式。

7. 已知数列 ， ，

（1）求通项公式 ；

（2）若 ，求数列 的最小项的值；

（3）数列 的前 项和为 ，求数列 前项的和 .

8. 三数成等比数列，若第二个数加4 就成等差数列，再把这个等差数列的第三个数加上32又成等比数列，求这三个数。

等比数列 第十一篇

教学目的：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式。 2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法。 教学重点：等比中项的应用及等比数列性质的应用。 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 教学过程： 一、复习：等比数列的定义、通项公式、等比中项 二、讲解新课： 1.等比数列的性质：若m+n=p+q，则 2.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 3.等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时， { }是递增数列；当q>1, <0,或0<q<1, >0时， { }是递减数列；当q=1时， { }是常数列；当q<0时， { }是摆动数列； 三、例题讲解 例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 也成等比数列。 证明：由题设：b2=ac 得： ∴ 也成等比数列 例2 已知等比数列 . 例3 a≠c,三数a, 1, c成等差数列，a , 1, c 成等比数列，求 的值。解： ∵a, 1, c成等差数列， ∴ a＋c＝2, 又a , 1, c 成等比数列， ∴a c ＝1, 有ac＝1或ac＝－1, 当ac＝1时， 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾， ∴ ac＝－1, a + c ＝(a＋c) －2ac＝6, ∴ ＝ . 例4 已知无穷数列 ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 ， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 证：（1） （常数）∴该数列成等比数列。 （2） ，即： 。 （3） ，∵ ，∴ 。 ∴ 且 ， ∴ ，（第 项）。 例5 设 均为非零实数， ， 求证： 成等比数列且公比为 。 证一：关于 的二次方程 有实根， ∴ ，∴ 则必有： ，即 ，∴ 成等比数列 设公比为 ，则 ， 代入 ∵ ，即 ，即 。 证二：∵ ∴ ∴ ，∴ ，且 ∵ 非零，∴ 。 四、课后作业：课本p125习题3.4 10（2）， 11，《精讲精练》p126 智能达标训练。

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