考研数学二线性代数公式大全

摘要：本文总结了考研数学二线性代数中常用的公式，包括向量和矩阵的运算、特征值与特征向量、线性方程组、内积外积等方面的内容。通过对这些公式的学习和掌握，可以帮助考生更好地解答相关题目。

一、向量和矩阵的运算公式

1. 向量的加法：$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots, a_n+b_n)$
2. 向量的数乘：$k\mathbf{a} = (ka_1, ka_2, \ldots, ka_n)$
3. 向量的点乘：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n$
4. 矩阵的加法：$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (a_{ij}+b_{ij})$
5. 矩阵的数乘：$k\mathbf{A} = (ka_{ij})$
6. 矩阵的乘法：$\mathbf{A}\mathbf{B} = (c_{ij})$，其中$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}$

二、特征值与特征向量公式

1. 特征值的定义：$\mathbf{A}\mathbf{X} = \lambda\mathbf{X}$
2. 特征值的性质：$\text{det}(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = 0$
3. 特征向量的求解：$(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})\mathbf{X} = \mathbf{0}$

三、线性方程组公式

1. 齐次线性方程组：$\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{0}$
2. 非齐次线性方程组：$\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$
3. 线性方程组的解空间：$\text{dim}(\text{Ker}\,\mathbf{A}) + \text{dim}(\text{Im}\,\mathbf{A}) = n$

四、内积外积公式

1. 内积的定义：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta$
2. 内积的性质：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
3. 外积的定义：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$
4. 外积的性质：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$
5. 外积与内积的关系：$\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta$

五、总结

本文介绍了考研数学二线性代数中常用的公式，包括向量和矩阵的运算、特征值与特征向量、线性方程组、内积外积等方面的内容。这些公式是线性代数的基础，掌握这些公式对于解答相关题目非常重要。希望考生能够通过学习和熟练运用这些公式，提升自己的数学水平，取得优异的成绩。