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平面向量的数量积及运算律(优秀4篇)

平面向量的数量积及运算律 篇一

教学目的:

1 掌握平面向量的数量积及其几何意义;

2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4 掌握向量垂直的条件

教学重点:平面向量的数量积定义

教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型:新授课

课时安排:1课时

教    具:多媒体、实物投影仪

内容分析:

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律

教学过程:

一、复习引入:

1. 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使 =λ

2.平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1,λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的坐标表示

分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 、 ,使得

把 叫做向量 的(直角)坐标,记作

4.平面向量的坐标运算

若 , ,

则  ,  ,

若 , ,则

5. ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0

6.线段的定比分点及λ

p1, p2是直线l上的两点,p是l上不同于p1, p2的任一点,存在实数λ,

使  =λ ,λ叫做点p分 所成的比,有三种情况:

λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7 定比分点坐标公式:

若点p1(x1,y1) ,p2(x2,y2),λ为实数,且 =λ ,则点p的坐标为( ),我们称λ为点p分 所成的比

8 点p的位置与λ的范围的关系:

①当λ>0时, 与 同向共线,这时称点p为 的内分点

②当λ<0( )时, 与 反向共线,这时称点p为 的外分点

9 线段定比分点坐标公式的向量形式:

在平面内任取一点o,设 = , = ,

可得 =

10.力做的功:w = | || |cos,是 与 的夹角

二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量 与 ,作 = , = ,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

说明:(1)当θ=0时, 与 同向;

(2)当θ=π时, 与 反向;

(3)当θ= 时, 与 垂直,记 ⊥ ;

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围0≤≤180

2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量| || |cos叫 与 的数量积,记作  ,即有   = | || |cos,

(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0

探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定

(2)两个向量的数量积称为内积,写成  ;今后要学到两个向量的外积 × ,而  是两个向量的数量的积,书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替

(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若  ,且  =0,不能推出 =  因为其中cos有可能为0

(4)已知实数a、b、c(b0),则ab=bc  a=c

但是   =       =

如右图:   = | || |cos = | ||oa|,  = | || |cos = | ||oa|

    =     但  

(5)在实数中,有(aa)c = a(ac),但是(  )    (  )

显然,这是因为左端是与 共线的向量,而右端是与 共线的向量,而一般 与 不共线

3.“投影”的概念:作图

定义:| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |

4.向量的数量积的几何意义:

数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积

5.两个向量的数量积的性质:

设 、 为两个非零向量, 是与 同向的单位向量

1    =    =| |cos

2        = 0

3 当 与 同向时,   = | || |;当 与 反向时,   = | || |

特别的   = | |2或

4  os =

5|  | ≤ | || |

三、讲解范例:

例1 判断正误,并简要说明理由

① • = ;②0• =0;③ - = ;④| • |=| || |;⑤若 ≠ ,则对任一非零 有 • ≠0;⑥ • =0,则 与 中至少有一个为 ;⑦对任意向量 , , 都有( • ) = ( • );⑧ 与 是两个单位向量,则 2= 2

解:上述8个命题中只有③⑧正确;

对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 • =0;

对于②:应有0• = ;

对于④:由数量积定义有| • |=| |•| |•|cosθ|≤| || |,这里θ是 与 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有| • |=| |•| |;

对于⑤:若非零向量 、 垂直,有 • =0;

对于⑥:由 • =0可知 ⊥ 可以都非零;

对于⑦:若 与 共线,记 =λ

则 • =(λ )• =λ( • )=λ( • ),

∴( • )• =λ( • ) =( • )λ =( • )

若 与 不共线,则( • ) ≠( • )

评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

例2 已知| |=3,| |=6,当① ∥ ,② ⊥ ,③ 与 的夹角是60°时,分别求 •

解:①当 ∥ 时,若 与 同向,则它们的夹角θ=0°,

∴ • =| |•| |cos0°=3×6×1=18;

若 与 反向,则它们的夹角θ=180°,

∴ • =| || |cos180°=3×6×(-1)=-18;

②当 ⊥ 时,它们的夹角θ=90°,

∴ • =0;

③当 与 的夹角是60°时,有

• =| || |cos60°=3×6× =9

评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当 ∥ 时,有0°或180°两种可能

四、课堂练习:

五、小结  通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律,并能运用它们解决相关的问题

六、课后作业:

七、板书设计(略)

八、课后记及备用资料:

1 概念辨析:正确理解向量夹角定义

对于两向量夹角的定义,两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误,如:

1 已知△abc中, =5, =8,c=60°,求 •

对此题,有同学求解如下:

解:如图,∵| |= =5,| |= =8,c=60°,

∴ • =| |•| |cosc=5×8cos60°=20

分析:上述解答,乍看正确,但事实上确实有错误,原因就在于没能正确理解向量夹角的定义,即上例中 与 两向量的起点并不同,因此,c并不是它们的夹角,而正确的夹角应当是c的补角120°

2 向量的数量积不满足结合律

分析:若有( • ) = •( • ),设 、 夹角为 , 、 夹角为β,则( • ) =| |•| |cosα• ,

•( • )= •| || |cosβ

∴若 = ,α=β,则| |=| |,进而有:( • ) = •( • )

这是一种特殊情形,一般情况则不成立 举反例如下:

已知| |=1,| |=1,| |= , 与 夹角是60°, 与 夹角是45°,则:

( • )• =(| |•| |cos60°) =  ,

•( • )=(| |•| |cos45°) =

而  ≠ ,故( • )• ≠ •( • )

平面向量的数量积及运算律 篇二

(第一课时)

一、教学目标 

1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;

2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题;

3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;

4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识。

二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用

教学难点  平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解。

三、教学具准备

直尺,投影仪

四、教学过程 

1.设置情境

师:我们学过功的概念:即一个物体在力 的作用下产生位移 ,那么力 所做的功: ,其中 表示一个什么角度?

表示力 的方向与位移 的方向的夹角。

我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量 、 ,来规定 的含义。

2.探索研究

(l)已知两个非零向量 和 ,在平面上任取一点 ,作 , ,则 叫做向量 与 的夹角。你能指出下列图中两向量的夹角吗?

① 与 的夹角为 ,② 与 的夹角为 ,③ 与 的夹角是 ,④ 与 的夹角是 .

(2)下面给出数量积定义:

师:(板书)已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 ,叫做向量 与 的数量积或(内积)记作 即

并规定

师:在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别。

生:向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量。

师:你能从图中作出 的几何图形吗? 表示的几何意义是什么?

生:如图,过 的终点 作 的垂线段 ,垂足为 ,则由直角三角形的性质得:

所以 叫做向量 在向量 上的投影, 叫做 在 上的投影。

师:因此我们得到 的几何意义:向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积。

注意:1°投影也是一个数量,不是向量。

2°当q为锐角时投影为正值;

当q为钝角时投影为负值;

当q为直角时投影为0;

当q =0°时投影为 |b|;

当q =180°时投影为 -|b|。

向量的数量积的几何意义:

数量积a×b等于a的长度与ba方向上投影|b|cosq的乘积。

(3)下面讨论数量积的性质:

(每写一条让学生动手证一条)设 , 都是非零向量, 是与 的方向相同的单位向量, 是 与 的夹角,则

③当 与 同向时, ,当 与 反向时, 。

特别地

3.演练反馈(投影)

(通过练习熟练掌握性质)

判断下列各题是否正确

(1)若 ,则对任意向量 ,有    (    )

(2)若 ,则对任意非零量 ,有 (    )

(3)若 ,且 ,则           (    )

(4)若 ,则 或             (    )

(5)对任意向量 有                  (    )

(6)若 ,且 ,则          (   )

参考答案:(l)√,(2)×,(3)×,(4)×,(5)√,(6)×.

4.总结提炼

(l)向量的数量的物理模型是力的做功。

(2) 的结果是个实数(标量)

(3)利用 ,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直。

(4)二向量夹角范围 .

(5)五条属性要掌握。

五、板书设计 

课题

1.“功”的抽象

2.数量积的定义

3.(5)条性质

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

4.演练反馈

5.总结提炼

平面向量的数量积及运算律 篇三

(第二课时)

一、教学目标 

1.掌握平面向量的数量积的运算律,并能运用运算律解决有关问题;

2.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确定参数的值;

3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;

5.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识。

二、教学重点  平面向量的数量积运算律,向量垂直的条件;

教学难点   平面向量的数量积的运算律,以及平面向量的数量积的应用。

三、教学具准备

投影仪

四、教学过程 

1.设置情境

上节课,我们已经给出了数量积的定义,指出了它的(5)条属性,本节课将研究数量积作为一种运算,它还满足哪些运算律?

2.探索研究

(1)师:什么叫做两个向量的数量积?

生: ( 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积)

师:向量的数量积有哪些性质?

生:(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

师:向量的数量积满足哪些运算律?

生(由学生验证得出)

交换律:

分配律:

师:这个式子 成立吗?(由学生自己验证)

生: ,因为 表示一个与 共线的向量,而 表示一个与 共线的向量,而 与 一般并不共线,所以,向量的内积不存在结合律。

(2)例题分析

【例1】求证:

(1)

(2)

分析:本例与多项式乘法形式完全一样。

证:

注: (其中 、 为向量)

答:一般不成立。

【例2】已知 , , 与 的夹角为 ,求 .

解:∵

注:与多项式求值一样,先化简,再代入求值。

【例3】已知 , 且 与 不共线,当且仅当 为何值时,向量 与 互相垂直。

分析:师:两个向量垂直的充要条件是什么?

生:

解: 与 互相垂直的充要条件是

∴  当且仅当 时, 与 互相垂直。

3.演练反馈(投影)

(1)已知 , 为非零向量, 与 互相垂直, 与 互相垂直,求 与 的夹角。

(2) , 为非零向量,当 的模取最小值时,

①求 的值;

②求证: 与 垂直。

(3)证明:直径所对的圆周角为直角。

参考答案:

(1)

(2)解答:①由

当 时 最小;

②∵

∴ 与 垂直。

(3)如图所示,设 , , (其中 为圆心, 为直径, 为圆周上任一点)

∵  ,

∴   即  圆周角

4.总结提炼

(l)

(2)向量运算不能照搬实数运算律,如结合律数量积运算就不成立。

(3)要学会把几何元素向量化,这是用向量法证几何问题的先决条件。

(4)对向量式不能随便约分,因为没有这条运算律。

五、板书设计 

课题:

1.数量积性质

2.数量积运算律

例题

1

2

3

演练反馈

总结提炼

平面向量的数量积及运算律 篇四

教学目的:

1 掌握平面向量数量积运算规律;

2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;

3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题

教学重点:平面向量数量积及运算规律

教学难点:平面向量数量积的应用

授课类型:新授课

课时安排:1课时

教    具:多媒体、实物投影仪

内容分析:

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质  

教学过程:

一、复习引入:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量 与 ,作 = , = ,则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量| || |cos叫 与 的数量积,记作  ,即有   = | || |cos,

(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0

3.“投影”的概念:作图

定义:| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |

4.向量的数量积的几何意义:

数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积

5.两个向量的数量积的性质:

设 、 为两个非零向量, 是与 同向的单位向量

1   =   =| |cos;2       = 0

3当 与 同向时,   = | || |;当 与 反向时,   = | || |

特别的   = | |2或

4cos =  ;5|  | ≤ | || |

6.判断下列各题正确与否:

1若  =  ,则对任一向量 ,有   = 0                 ( √ )

2若    ,则对任一非零向量 ,有    0             ( × )

3若    ,   = 0,则  =                           ( × )

4若   = 0,则  、 至少有一个为零                 ( × )

5若    ,   =   ,则  =                           ( × )

6若   =   ,则  =  当且仅当    时成立           ( × )

7对任意向量 、 、 ,有(  )    (  )               ( × )

8对任意向量 ,有 2 = | |2                           ( √ )

二、讲解新课:

平面向量数量积的运算律

1.交换律:     =   

证:设 , 夹角为,则     = | || |cos,     = | || |cos

∴     =   

2.数乘结合律:(  )  = (  ) =  (  )

证:若 > 0,(  )  = | || |cos,  (  ) = | || |cos, (  ) = | || |cos,

若 < 0,(  )  =|  || |cos() =  | || |(cos) = | || |cos,

(  ) = | || |cos,

(  ) =| ||  |cos() =  | || |(cos) = | || |cos

3.分配律:(  +  )  =  c +  

在平面内取一点o,作 =  ,  =  , = ,

∵  +   (即 )在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和,

即   |  +  | cos = | | cos1 + | | cos2

∴|   | |  +  | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2

∴ (  +  ) =    +        即:(  +  ) =    +  

说明:(1)一般地,( • ) ≠ ( • )

(2) • = • , ≠   =

(3)有如下常用性质: 2=| |2,

( + )( + )= • + • + • + •

( + )2= 2+2 • + 2

三、讲解范例:

例1 已知 、 都是非零向量,且  + 3 与7   5 垂直,   4 与7   2 垂直,求 与 的夹角

解:由(  + 3 )(7   5 ) = 0  7 2 + 16   15 2 = 0    ①

(   4 )(7   2 ) = 0  7 2  30   + 8 2 = 0    ②

两式相减:2   =  2

代入①或②得: 2 =  2

设 、 的夹角为,则cos =    ∴ = 60

例2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

解:如图: abcd中, , , =

∴| |2=

而 =

∴| |2=

∴| |2 + | |2 = 2 =

例3 四边形abcd中, = , = , = , = ,且 • = • = • = • ,试问四边形abcd是什么图形?

分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量

解:四边形abcd是矩形,这是因为:

一方面:∵ + + + =0,

∴ + =-( + ),∴( + )2=( + )2

即| |2+2 • +| |2=| |2+2 • +| |2

由于 • = • ,

∴| |2+| |2=| |2+| |2①

同理有| |2+| |2=| |2+| |2②

由①②可得| |=| |,且| |=| |即四边形abcd两组对边分别相等

∴四边形abcd是平行四边形

另一方面,由 • = • ,有 ( - )=0,而由平行四边形abcd可得 =- ,代入上式得 •(2 )=0

即 • =0,∴ ⊥ 也即ab⊥bc

综上所述,四边形abcd是矩形

评述:(1)在四边形中, , , , 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即 + + + = ,应注意这一隐含条件应用;

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系

四、课堂练习:

1 下列叙述不正确的是(   )

a 向量的数量积满足交换律     b 向量的数量积满足分配律

c 向量的数量积满足结合律     d  • 是一个实数

2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60°,则( +2 )•( -3 )等于(    )

a 72           b -72           c 36        d -36

3 | |=3,| |=4,向量 +  与 -  的位置关系为(    )

a 平行         b 垂直        c 夹角为   d 不平行也不垂直

4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°,则( + )2=

5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=

6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 -λ 垂直,则λ=

参考答案:1 c  2 b  3 b  4 2 5 -1+2   5     6 ±

五、小结  通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的5个重要性质解决相关问题

六、课后作业

1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直,则 与 的夹角是(    )

a 60°         b 30°          c 135°         d 45°

2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ,那么向量 = -4 的模为

a 2            b 2           c 6            d 12

3 已知 、 是非零向量,则| |=| |是( + )与( - )垂直的(    )

a 充分但不必要条件               b 必要但不充分条件

c 充要条件                          d 既不充分也不必要条件

4 已知向量 、 的夹角为 ,| |=2,| |=1,则| + |•| - |=

5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么 • =

6 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°,且| |=1,| |=2,|  |=3,则( +2 - )2=______

7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夹角为60°,求| + |;(3)若 - 与 垂直,求 与 的夹角

8 设 、 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角 

9 对于两个非零向量 、 ,求使| +t |最小时的t值,并求此时 与 +t 的夹角

参考答案:1 d  2 b  3 c  4    5  –63   6  11

7 (1)-    (2)   (3)45° 8  120°  9  90°

七、板书设计(略)

八、课后记及备用资料:

1 常用数量积运算公式:在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛

即( + )2= 2+2 • + 2,( - )2= 2-2 • + 2

上述两公式以及( + )( - )= 2- 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用

2 应用举例

例1 已知| |=2,| |=5, • =-3,求| + |,| - |

解:∵| + |2=( + )2= 2+2 • + 2=22+2×(-3)+52=23

∴| + |= ,∵(| - |)2=( - )2= 2-2 • + 2=22-2×(-3)×52=35,

∴| - |= .

例2 已知| |=8,| |=10,| + |=16,求 与 的夹角θ(精确到1°)

解:∵(| + |)2=( + )2= 2+2 • + 2=| |2+2| |•| |cosθ+| |2

∴162=82+2×8×10cosθ+102,

∴cosθ= ,∴θ≈55°